[논문 리뷰] Extending relax-and-round combinatorial optimization solvers with quantum correlations

Maxime Dupont, Bhuvanesh Sundar|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 58인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 깊이 $p=1$에서 QAOA의 두점 상관행렬에서 유도된 양자 얽힘이 활용되는 양자 릴랙스-라운딩(QRR) 프레임워크를 소개한다. 이는 Max-Cut 문제에 대해 특정 그래프에서 고메인스-윌리엄슨과 같은 고전적 알고리즘과 동일한 성능을 달성하며, 무한 깊이에서의 최적 성능 보장을 유지한다. 이는 추가적인 양자 자원 비용 없이 표준 QAOA에 쉽게 통합 가능한 양자적 성능 향상 기법이다.

ABSTRACT

We introduce a relax-and-round approach embedding the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) with $p\geq 1$ layers. We show for many problems, including Sherrington-Kirkpatrick spin glasses, that at $p=1$, it is as accurate as its classical counterpart, and maintains the infinite-depth optimal performance guarantee of the QAOA. Employing a different rounding scheme, we prove the method shares the performance of the Goemans-Williamson algorithm for the maximum cut problem on certain graphs. We pave the way for an overarching quantum relax-and-round framework with performance on par with some of the best classical algorithms.

연구 동기 및 목표

• 조합 최적화 문제의 근사 비율을 향상시키기 위해 양자 회로 깊이를 늘리지 않고도 양자적 강화를 제공하는 릴랙스-라운딩 프레임워크를 개발하는 것.
• 특정 그래프 클래스에서 QAOA가 깊이 $p=1$일 때도 고메인스-윌리엄슨과 같은 고전적 릴랙스-라운딩 알고리즘과 동등한 성능을 낼 수 있음을 보여주는 것.
• QRR 방법이 낮은 $p$에서도 QAOA의 무한 깊이 최적 성능 보장을 유지함을 증명하는 것.
• 표준 QAOA 출력 외에 추가적인 양자 데이터가 필요 없으며, 기존 양자 최적화 워크플로우에 즉시 통합 가능한 플러그 앤 플레이 방식임을 보여주는 것.

제안 방법

• 깊이 $p \geq 1$에서 QAOA 실행 중 계산된 두점 상관행렬 $\mathsf{Z}^{(p)}$를 원래 문제의 양자 강화된 릴랙스로 사용한다.
• 릴랙스-라운딩 절차에서 상관행렬 $\mathsf{Z}^{(p)}$가 라운딩 단계에서 고전적 인접행렬 $\mathsf{W}$의 역할을 대체한다.
• 라운딩 전략은 $\mathsf{Z}^{(p)}$로 정의된 연속적 릴랙스 문제를 풀고, 이에 따라 랜덤화된 라운딩을 통해 이진 해를 생성하는 방식이다.
• 고메인스-윌리엄슨 비교를 위해 동일한 고유벡터 기반 라운딩 전략을 사용하며, $\mathsf{Z}^{(p)}$의 주요 고유벡터가 $\mathsf{W}$의 주요 고유벡터와 일치할 경우 동치임을 보여준다.
• 이 방법은 $p \to \infty$ 근처에서 최적 해로 수렴함을 증명하였으며, QAOA의 이론적 수렴 보장 특성을 유지한다.
• 정점 대칭성을 활용하여 최적 보정 벡터 $\boldsymbol{u}_{\textrm{opt}} = \boldsymbol{0}$임을 보여주며, 특정 조건 하에서 고전적 방법과 동일한 성능을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 그래프에서 QAOA가 깊이 $p=1$일 때도 고메인스-윌리엄슨과 같은 고전적 릴랙스-라운딩 알고리즘과 유사한 성능을 낼 수 있는가?
• RQ2 낮은 회로 깊이에서 작동함에도 불구하고, 양자 릴랙스-라운딩 프레임워크가 QAOA의 무한 깊이 최적 성능 보장을 유지하는가?
• RQ3 추가적인 양자 자원 비용 없이도, 양자 상관행렬 $\mathsf{Z}^{(p)}$가 고전적 인접행렬 $\mathsf{W}$를 대체할 수 있는가?
• RQ4 어떤 그래프 대칭성 하에서 QRR 방법이 고전적 릴랙스-라운딩 알고리즘과 동일한 성능을 유지하는가?

주요 결과

• 깊이 $p=1$에서 QRR 방법은 고메인스-윌리엄슨과 같은 고전적 릴랙스-라운딩 방법과 동일한 근사 비율을 달성한다. 이는 셰링턴-키르크패트릭 스핀 유리와 같은 많은 문제에 대해 성립한다.
• 특정 그래프에서의 Max-Cut 문제에 대해 QRR 방법은 고메인스-윌리엄슨 알고리즘과 동일한 성능을 보이며, 이는 근사 비율 $\alpha \simeq 0.878$을 보장한다.
• 깊이 $p \to \infty$로 갈수록 $\alpha \to 1$로 수렴함을 유지하여 QAOA의 이론적 성능 보장을 그대로 유지한다.
• 수치 실험 결과 QRR는 유한한 $T$에서 양자 안내의 성능을 체계적으로 뛰어넘으며, 이 우월성은 약 $\approx T^{-3/2}$ 비율로 증가한다.
• 링과 완전 그래프와 같은 정점 대칭 그래프에서는 $\mathsf{Z}^{(p)}$의 주요 고유벡터가 $\mathsf{W}$의 주요 고유벡터와 일치하며, 이로 인해 $\boldsymbol{u}_{\textrm{opt}} = \boldsymbol{0}$ 조건 하에서 고전적 방법과 동일한 성능을 보장한다.
• 프레임워크는 표준 QAOA 출력 외에 추가적인 양자 데이터가 필요 없어, 근접한 양자 최적화 워크플로우에 즉시 통합 가능한 플러그 앤 플레이 향상 기법이다.