[논문 리뷰] Extracting Wilson loop operators and fractional statistics from a single bulk ground state

Ze-Pei Cian, Mohammad Hafezi외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 28.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고립된 해밀토니안의 한 개의 기본 상태 웨이브 함수에서 해밀토니안에 대한 사전 지식 없이 윌슨 루프 연산자(WLOs)와 분수统계를 추출하기 위한 편향 없는 수치 최적화 방법을 제시한다. WLOs를 행렬 곱 연산자(MPOs)로 공식화하고 변분 매개변수를 최적화함으로써, 기본 상태 부분공간을 유지하는 연산자를 식별함으로써, 끈 교환과 anyon 생성/소멸 연산을 통해 위상적 순서—특히 모듈러 S 및 T 행렬—을 추출할 수 있다.

ABSTRACT

An essential aspect of topological phases of matter is the existence of Wilson loop operators that keep the ground state subspace invariant. Here we present and implement an \it unbiased m numerical optimization scheme to systematically find the Wilson loop operators given a single ground state wave function of a gapped Hamiltonian on a disk. We then show how these Wilson loop operators can be cut and glued through further optimization to give operators that can create, move, and annihilate anyon excitations. We subsequently use these operators to determine the braiding statistics and topological twists of the anyons, yielding a way to fully extract topological order from a single wave function. We apply our method to the ground state of the perturbed toric code and doubled semion models with a magnetic field that is up to a half of the critical value. From a contemporary perspective, this can be thought of as a machine learning approach to discover emergent 1-form symmetries of a ground state wave function. From an application perspective, our approach can be relevant to find Wilson loop operators in current quantum simulators.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안에 의존하지 않는 체계적인 방법을 개발하여 단일 기본 상태 웨이브 함수에서 위상적 순서를 진단한다.
• 기본 상태를 유지하는 윌슨 루프 연산자(WLOs)를 식별하며, 이는 기저 해밀토니안의 지식이 없거나 변화가 있을 경우에도 가능하다.
• 동일한 웨이브 함수에서 분수 통계 및 모듈러 S 및 T 행렬과 같은 위상적 불변량을 추출한다.
• 정확한 해밀토니안을 알 수 없는 양자 시뮬레이터에서 위상적 순서를 특성화할 수 있도록 한다.
• 웨이브 함수 데이터만으로도 잠재적인 1형 대칭과 anyon 진동자를 발견할 수 있는 프레임워크를 수립한다.

제안 방법

• 루프 경로를 따라 텐서로 매개변수화된 변분 앤사에 기반해 윌슨 루프 연산자를 행렬 곱 연산자(MPOs)로 공식화한다.
• 주어진 기본 상태에서 MPO의 기대값을 바탕으로 비용 함수를 정의하며, 유효한 WLOs를 위해 이를 1로 최대화하고자 한다.
• 비용 함수를 최소화하고 기본 상태 부분공간을 유지하는 WLOs를 식별하기 위해 MPO 텐서의 반복적인 수치 최적화(예: 기울기 기반)를 수행한다.
• 최적화된 WLOs를 기반으로 anyon 생성, 이동, 소멸을 위한 연산자를 추가 최적화를 통해 구성한다.
• 복합 anyon 연산자의 기대값을 측정하고 모듈러 S 및 T 행렬을 추출함으로써 끈 교환 통계와 위상적 휘감김을 계산한다.
• 자기장 편향이 반 임계값 이내로 적용된 변형된 토릭 코드 및 이중 세미온 모델에 대해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀토니안에 대한 지식 없이도 단일 기본 상태 웨이브 함수에서 윌슨 루프 연산자를 체계적으로 추출할 수 있는가?
• RQ2 변분 최적화를 통해 기본 상태 웨이브 함수에서 잠재적인 1형 대칭을 어떻게 식별할 수 있는가?
• RQ3 단일 웨이브 함수에서 수치 최적화만을 사용해 전체 위상적 순서—특히 모듈러 S 및 T 행렬—을 재구성할 수 있는가?
• RQ4 행렬 곱 연산자(MPO) 매개변수화는 anyon 진동자 및 그 통계를 발견하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 방법은 정확한 해밀토니안가 알려지지 않거나 편향된 해밀토니안을 가진 실제 양자 시뮬레이터에 얼마나 널리 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 최적화 절차는 기대값이 1에 수렴하는 윌슨 루프 연산자를 성공적으로 식별하여 기본 상태 부분공간을 유지함을 나타낸다.
• 자기장 편향이 $ h_x = 0.15 $, $ h_z = 0.05 $인 변형된 토릭 코드에서, 방법은 약 400회 반복 후 수렴하며 WLO 기대값이 1 근처에서 안정화된다.
• 추출된 WLOs를 통해 anyon 생성 및 끈 교환 연산자를 구성할 수 있으며, 이로 인해 위상적 S 및 T 행렬을 계산할 수 있다.
• 방법은 anyon의 분수 통계, 즉 anyon 끈 교환 위상과 위상적 휘감김을 정확히 복원한다.
• 토릭 코드 및 이중 세미온 모델에서 임계 자기장 강도의 반까지의 편향에 대해 이 방법은 강건함을 보인다.
• 이 프레임워크는 F 및 R 기호를 추출하고, 대칭이 부여된 위상적 위상에 대해 전체 G-크로스드 브라우닝 텐서 카테고리를 잠재적으로 추출하는 데로 확장될 수 있다.