[논문 리뷰] Extremal dependence: some contributions

Helena Ferreira, Марта Феррейра|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 09.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다변량 랜덤 벡터의 두 하위벡터 간의 새로운 상부 꼬리 의존 함수와 의존성의 극한 계수를 제안하며, 모든 성분이 동시에 극한 사건을 겪어야 한다는 기존 표준 요구 조건을 완화한다. 이중 차원 기법과 순위 기반 추정기들을 활용함으로써, 높은 차원의 금융 데이터에서의 꼬리 의존성에 대한 강건한 평가가 가능해지며, 점근적 정규성, 강한 일致성 및 글로벌 시장 지수에 대한 실증 검증을 통해 유럽, 미국, 동아시아 시장 간의 상당한 의존성이 확인된다.

ABSTRACT

Due to globalization and relaxed market regulation, we have assisted to an increasing of extremal dependence in international markets. As a consequence, several measures of tail dependence have been stated in literature in recent years, based on multivariate extreme-value theory. In this paper we present a tail dependence function and an extremal coefficient of dependence between two random vectors that extend existing ones. We shall see that in weakening the usual required dependence allows to assess the amount of dependence in $d$-variate random vectors based on bidimensional techniques. Very simple estimators will be stated and can be applied to the well-known \emph{stable tail dependence function}. Asymptotic normality and strong consistency will be derived too. An application to financial markets will be presented at the end.

연구 동기 및 목표

• 모든 성분이 동시에 극한이어야 한다는 요구 조건을 필요로 하는 기존의 다변량 꼬리 의존 측정법의 한계를 해결하기 위해.
• 하위벡터 각각의 최댓값이 극한 수준에 도달할 때, 그들 간의 의존성을 평가하는 새로운 상부 꼬리 의존 함수를 개발하기 위해.
• 기존의 극한 계수 개념을 고차원 설정에서 꼬리 의존성을 더 민첩하게 모델링할 수 있도록 확장하기 위해.
• 안정 꼬리 의존 함수와 실제 금융 데이터에 적용 가능한 단순하고 일치성 있으며 점근적으로 정규적인 추정기들을 도출하기 위해.
• 국제 금융 시장 지수에 대한 실증 적용을 통해 제안된 측정법의 실용적 관련성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 하위벡터 $I_1$ 의 최댓값이 $1 - x/t$ 를 초과할 조건부 확률이 하위벡터 $I_2$ 의 최댓값이 $1 - y/t$ 를 초과할 때, $t \to \infty$ 일 때의 극한으로 새로운 상부 꼬리 의존 함수 $\Lambda_U^{(I_1|I_2)}(x,y)$ 를 정의한다.
• 극한 의존 계수 $\epsilon_{(I_1,I_2)}$ 는 $\Lambda_U^{(I_1|I_2)}(1,1)$ 으로 정의되며, 이는 이중 차원에서의 고전적 극한 계수를 다변량 하위벡터 의존성으로 확장한다.
• 순위 기반 추정기들을 활용해 극한 계수를 추정함으로써, 모수 분포에 대한 가정에 강건함을 확보한다.
• 이론적 성질을 확립하기 위해, 대수의 법칙과 경험분포함수에 대한 수렴 논증을 활용해 추정기의 강한 일치성과 점근적 정규성을 증명한다.
• 1993~2004년 기간 동안의 9개 주요 주식시장 지수의 월간 최대 수익률에 대해 방법을 적용하며, 시장 그룹을 유럽, 미국, 동아시아로 분류하여 분석한다.
• 산점도와 순위 기반 추정기들을 활용해 지역 시장 그룹 간의 꼬리 의존성을 시각화하고 정량화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변량 벡터의 일부 성분만 극한 수준에 도달할 경우, 어떻게 꼬리 의존성을 의미 있게 측정할 수 있는가?
• RQ2 모든 성분이 동시에 극한 행동을 보여야 한다는 엄격한 요구 조건을 완화하면서도 통계적으로 다룰 수 있는 의존성 측정법을 구성할 수 있는가?
• RQ3 제안된 극한 의존 계수 추정기의 점근적 성질은 무엇인가?
• RQ4 기존의 꼬리 의존 계수와 비교해 볼 때, 새로운 측정법은 금융 데이터에서의 시장 간 의존성을 얼마나 잘 포착하는가?
• RQ5 제안된 방법은 주요 글로벌 금융 시장 간의 꼬리 의존 패턴을 어느 정도 드러내는가?

주요 결과

• 제안된 극한 의존 계수 $\epsilon_{(I_1,I_2)}$ 는 순위 기반 추정기들을 통해 일致성 있게 추정되며, 강한 일치성과 점근적 정규성이 입증되었다.
• 금융 데이터에 대한 실증 적용 결과, 미국과 유럽 간에 강한 꼬리 의존성이 나타났으며, $\widehat{\epsilon}_{(\text{Europe}, \text{USA})} = 1.0083$ 로 나타나 극한 의존성이 매우 높음을 시사한다.
• 동아시아 시장는 다른 지역과 비교해 더 약한 의존성을 보였으며, $\widehat{\epsilon}_{(\text{Europe}, \text{Far East})} = 0.5688$ 과 $\widehat{\epsilon}_{(\text{USA}, \text{Far East})} = 0.3644$ 로 나타나 꼬리 의존성이 낮음을 시사한다.
• 계수 $\epsilon_{(\text{Europe}, \text{USA} \cup \text{Far East})} = 1.1259$ 는 미국과 동아시아 시장의 조합이 유럽에 미치는 영향이 미국 단독일 때보다 더 강하다는 것을 나타내며, 복잡한 상호의존성을 반영한다.
• 이 방법은 비대칭 의존 패턴을 성공적으로 포착하였으며, 미국이 유럽에 더 강한 영향을 미치는 것으로 나타났다. 이는 $\epsilon_{(\text{USA}, \text{Europe} \cup \text{Far East})} = 0.9215$ 로 반영된다.
• 제안된 추정기들은 안정 꼬리 의존 함수에 적용 가능하며, 유한 표본 성능이 양호함이 재현된 금융 응용 사례를 통해 입증되었다.