[논문 리뷰] Extremal functions for the Moser--Trudinger inequality of Adimurthi--Druet type in $W^{1,N}(\mathbb R^N)$

Van Hoang Nguyen|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 26.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$에서 Adimurthi--Druet 유형의 Moser--Trudinger 부등식에 대한 극값 함수의 존재성과 비존재성을 규명하며, $N \geq 3$ 또는 $N=2$ 이며 특정 $\beta$ 범위 내에서 초임계적 경우에 대해 타당성을 입증하고, 작은 $\alpha$ 에서 임계적 경우에 대해 타당성을 입증한다. 또한 $MT(N,\beta_N,1) = \infty$ 를 증명하여, 비유계 도메인에서 극값 함수의 거동에 관한 열린 문제를 해결한다. 이는 폭발 분석과 Moser 수열 스케일링을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

We study the existence and nonexistence of maximizers for variational problem concerning to the Moser--Trudinger inequality of Adimurthi--Druet type in $W^{1,N}(\mathbb R^N)$ \[ MT(N,β, α) =\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb R^N), \| abla u\|_N^N + \|u\|_N^N\leq 1} \int_{\mathbb R^N} Φ_N(β(1+α\|u\|_N^N)^{\frac1{N-1}} |u|^{\frac N{N-1}}) dx, \] where $Φ_N(t) =e^{t} -\sum_{k=0}^{N-2} \frac{t^k}{k!}$, $0\leq α< 1$ both in the subcritical case $β< β_N$ and critical case $β=β_N$ with $β_N = N ω_{N-1}^{\frac1{N-1}}$ and $ω_{N-1}$ denotes the surface area of the unit sphere in $\mathbb R^N$. We will show that $MT(N,β,α)$ is attained in the subcritical case if $N\geq 3$ or $N=2$ and $β\in (\frac{2(1+2α)}{(1+α)^2 B_2},β_2)$ with $B_2$ is the best constant in a Gagliardo--Nirenberg inequality in $W^{1,2}(\mathbb R^2)$. We also show that $MT(2,β,α)$ is not attained for $β$ small which is different from the context of bounded domains. In the critical case, we prove that $MT(N,β_N,α)$ is attained for $α\geq 0$ small enough. To prove our results, we first establish a lower bound for $MT(N,β,α)$ which excludes the concentrating or vanishing behaviors of their maximizer sequences. This implies the attainability of $MT(N,β,α)$ in the subcritical case. The proof in the critical case is based on the blow-up analysis method. Finally, by using the Moser sequence together the scaling argument, we show that $MT(N,β_N,1) =\infty$. Our results settle the questions left open in \cite{doO2015,doO2016}.

연구 동기 및 목표

• 비유계 도메인에서 Adimurthi--Druet 유형의 Moser--Trudinger 부등식에 대한 최대화자 존재성 및 비존재성에 관한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 모든 초임계적 ($\beta < \beta_N$) 및 임계적 ($\beta = \beta_N$) 경우에 대해 $W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$에서 상한 $MT(N,\beta,\alpha)$ 가 타당한 조건을 규명하기 위해.
• 특히 농축 및 흩어짐 행동에 관여하는 매개변수 $\alpha \in [0,1)$ 이 임계적 및 초임계적 영역에서 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.
• 정밀한 분석을 통해 극값 수열의 날카운 비스듬한 행동과 폭발 프로파일을 수립하기 위해.
• $MT(N,\beta_N,1) = \infty$ 를 증명하여, $\alpha=1$ 에서의 타당성 실패를 보여주기 위해.

제안 방법

• 최대화자 수열에서 흩어짐 또는 농축 행동을 배제하기 위해 $MT(N,\beta,\alpha)$ 에 하한을 설정함으로써, 초임계적 경우에서 사전 컴actness를 확보하기 위해.
• 임계적 경우 $\beta = \beta_N$ 에서 최대화자 수열의 농축 프로파일을 연구하기 위해 폭발 분석을 적용하기 위해.
• 폭발점과 프로파일을 식별하기 위해.
• 테스트 함수를 구성하기 위해 Moser 수열과 스케일링 기법을 사용하여 $MT(N,\beta_N,1)$ 이 유계가 아니라는 것을 보여주기 위해.
• 반경 함수 $\mathbb{R}^N$ 과 $\mathbb{R}$ 상의 함수 간의 변환인 $w(t) = N^{1-1/N}\omega_{N-1}^{1/N}u(e^{-t/N})$ 을 활용하여 적분을 일변량 가중 적분으로 연결하기 위해.
• 적분 by parts 와 $\Phi_N(t) = e^t - \sum_{k=0}^{N-2} \frac{t^k}{k!}$ 에 대한 점근적 추정을 적용하여 지수 함수 기능의 성장을 통제하기 위해.
• Gagliardo--Nirenberg 부등식을 사용하여 $N=2$ 에서의 초임계적 경우에 대한 $\beta$-범위의 임계값을 결정하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ 에서 $\beta < \beta_N$ 인 경우 상한 $MT(N,\beta,\alpha)$ 가 타당한가?
• RQ2 작은 $\beta$ 에서 $MT(2,\beta,\alpha)$ 는 타당한가? 이는 유계 도메인의 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 임계적 경우에서 $\alpha > 0$ 이 작을 때 $MT(N,\beta_N,\alpha)$ 는 여전히 유계이고 타당한가?
• RQ4 $\alpha \to 1^-$ 일 때 $MT(N,\beta_N,\alpha)$ 는 어떻게 되는가? 특히 $\alpha=1$ 에서는 어떻게 되는가?
• RQ5 폭발 분석 기법을 사용하여 임계적 경우의 최대화자 농축 프로파일을 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 상한 $MT(N,\beta,\alpha)$ 는 $N \geq 3$ 이며, $N=2$ 이며 $\beta \in \left(\frac{2(1+2\alpha)}{(1+\alpha)^2 B_2}, \beta_2\right)$ 일 때 초임계적 경우에 타당하다. 여기서 $B_2$ 는 $W^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ 에서 Gagliardo--Nirenberg 부등식의 최적 상수이다.
• $N=2$ 에서 $\beta$ 가 충분히 작을 경우 $MT(2,\beta,\alpha)$ 는 타당하지 않으며, 이는 유계 도메인의 경우와 대조된다.
• 임계적 경우 $\beta = \beta_N$ 에서 $MT(N,\beta_N,\alpha)$ 는 모든 충분히 작은 $\alpha \geq 0$ 에 대해 타당하다.
• 논문은 Moser 수열과 스케일링을 사용하여 $MT(N,\beta_N,1) = \infty$ 를 증명하며, $\alpha=1$ 에서 기능이 무한해지는 것으로 인해 타당성이 실패함을 보여주며, 이는 열린 문제를 해결한다.
• 폭발 분석 기법은 농축 프로파일을 성공적으로 식별하고, 작은 $\alpha$ 에서 임계적 경우에 최대화자를 구성하는 데 기여한다.
• 최대화자 수열에서 흩어짐 및 농축 행동을 배제하는 하한을 $MT(N,\beta,\alpha)$ 에 설정하여, 초임계적 영역에서 최대화자의 존재를 보장한다.