[논문 리뷰] Extremal graphs for wheels

Long‐Tu Yuan|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 07.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 충분히 큰 $n$에 대해 홀수 휠 $W_{2k+1}$의 정확한 터란 수를 결정하며, 최적의 차수 분할을 통해 극대 그래프가 구성됨을 보여준다. 또한 2-edge-coloring에서 어떤 단색 복사본 $W_{2k+1}$에도 포함되지 않는 간선의 최대 수가 터란 수와 일치함을 입증하여, 키프래시와 수다코프가 제기한 홀수 휠에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

For a graph $H$, the Turán number of $H$, denoted by ex$(n,H)$, is the maximum number of edges of an $n$-vertex $H$-free graph. Let $g(n,H)$ denote the maximum number of edges not contained in any monochromatic copy of $H$ in a $2$-edge-coloring of $K_n$. A wheel $W_m$ is a graph formed by connecting a single vertex to all vertices of a cycle of length $m-1$. The Turán number of $W_{2k}$ was determined by Simonovits in the 1960s. In this paper, we determine ex$(n,W_{2k+1})$ when $n$ is sufficiently large. We also show that, for sufficiently large $n$, $g(n,W_{2k+1})=\mbox{ex}(n,W_{2k+1})$ which confirms a conjecture posed by Keevash and Sudakov for odd wheels.

연구 동기 및 목표

• 충분히 큰 $n$에 대해 홀수 휠 $W_{2k+1}$에 대한 정확한 터란 수 $\mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$를 결정하는 것.
• Keevash와 Sudakov가 제기한 추측을 해결하는 것: $H = W_{2k+1}$일 때 $g(n, H) = \mathrm{ex}(n, H)$이며, 여기서 $g(n, H)$는 $K_n$의 2-edge-coloring에서 어떤 단색 복사본 $H$에도 포함되지 않는 간선의 최대 수이다.
• 극대 그래프의 구조를 규명하여, 분해 가족이 선형 산림를 포함하지 않기 때문에 고전적 극대 그래프 이론 결과로는 커버되지 않는다는 점을 보여주는 것.
• 홀수 휠 $W_{2k+1}$에 대한 극대 색칠법이 정확히 빨간색 그래프가 $W_{2k+1}$-free인 극대 그래프이고 파란색 그래프가 그 여집합인 경우임을 규명하는 것.

제안 방법

• $f(n,k) = \max\left\{n_0n_1 + \left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1 : n_0 + n_1 = n \right\}$를 $W_{2k+1}$에 대한 후보 극대 간선 수로 정의한다.
• 단색 $W_{2k+1}$를 피하는 $K_n$의 극대 2-edge-coloring을 분석하기 위해 정점 수에 대한 점진적 귀납법을 사용하며, NIM-edges(비단색 간선)의 구조에 집중한다.
• 정점 집합을 두 개의 큰 부분 $B_1, B_2$로 분할하는 전략을 적용하며, 각각의 크기는 $n/2 + O(\sqrt{n})$이며, 각각 빨간색 완전 이분 그래프를 이룬다. 또한 크기가 $O(1)$인 작은 특수 집합 $D$를 구성한다.
• $B_i \cup C_i$에 속한 정점들에 인접한 파란 간선의 수에 대한 한계를 설정하여, 각 정점이 집합 내에서 최대 $k-1$개의 파란 이웃을 가짐을 보여, 파란 $W_{2k+1}$가 형성되지 않도록 한다.
• 레마 5.3을 적용하여 색칠법 내에 $T(2N,2)$의 파란 복사본을 찾고, 점진적 귀납법을 활용하여 극대 색칠법이 빨간색 그래프가 $W_{2k+1}$에 대해 극대인 형태여야 함을 보인다.
• 모든 간선이 $V_i = B_i \cup C_i \cup D_i$ 내에 있으며, 각 정점의 차수가 유한하게 제한되어 있음을 활용하여(최대 $k-1$), 극대 그래프가 동형을 제외하고 유일함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충분히 큰 $n$에 대해 정확한 터란 수 $\mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$의 값은 무엇인가?
• RQ2 $g(n, W_{2k+1}) = \mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$는 모든 충분히 큰 $n$에 대해 성립하는가? 이는 홀수 휠에 대한 키프래시-수다코프 추측을 확인하는 것이다.
• RQ3 특히 $W_{2k+1}$의 분해 가족이 선형 산림를 포함하지 않기 때문에, $W_{2k+1}$에 대한 극대 그래프는 어떤 구조적 성질을 갖는가?
• RQ4 단색 복사본 $W_{2k+1}$를 피하는 $K_n$의 극대 2-edge-coloring을 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ5 극대 색칠법에서 특수 집합 $D$의 역할은 무엇이며, 그 크기는 극대 간선 수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $k \geq 3$에 대해, 충분히 큰 $n$에 대해 $\mathrm{ex}(n, W_{2k+1}) = f(n,k) = \max\left\{n_0n_1 + \left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1 : n_0 + n_1 = n \right\}$이다.
• $k = 2$일 때 $\mathrm{ex}(n, W_5) = \left(\lceil \frac{n}{2} \rceil + 1 \right) \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$이며, 이는 완전 분할 그래프 $K_{\lceil n/2 \rceil, \lfloor n/2 \rfloor} + e$에 해당한다.
• 모든 충분히 큰 $n$에 대해 $g(n, W_{2k+1}) = \mathrm{ex}(n, W_{2k+1})$이 성립하며, 이는 홀수 휠에 대한 키프래시-수다코프 추측을 확인한다.
• 홀수 휠 $W_{2k+1}$에 대한 극대 그래프는 정점 집합이 두 부분 $V_1, V_2$로 분할되며, $|V_1| = n_0$, $|V_2| = n_1$, $n_0 + n_1 = n$이고, 간선 집합은 $V_1$과 $V_2$ 사이의 모든 간선에 더해 $V_1$ 내부에 $\left\lfloor \frac{(k-1)n_0}{2} \right\rfloor + 1$개의 간선이 포함된 형태로 구성되며, 이는 $W_{2k+1}$-free 조건 하에서 총 간선 수를 최대화하는 형태이다.
• 단색 복사본 $W_{2k+1}$를 피하는 $K_n$의 극대 2-edge-coloring은 정확히 빨간색 그래프가 $W_{2k+1}$-free인 극대 그래프이고 파란색 그래프가 그 여집합인 경우이다. 빨간색 그래프는 $W_{2k+1}$에 대해 유일한 극대 그래프이다.
• 점진적 귀납법에서 특수 집합 $D$의 크기는 상수 $N_1$ 이하로 제한되며, $B_i \cup C_i$에 속한 모든 정점은 자신의 집합 내에서 최대 $k-1$개의 파란 이웃을 가지므로, 파란 $W_{2k+1}$가 형성되지 않는다.