[논문 리뷰] Extremes of $\gamma$-reflected Gaussian process with stationary increments

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 30.

Probability and Risk Models인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정staionary한 증분을 가진 γ-반사 가우시안 과정의 최대값의 꼬리 확률에 대한 渐近 전개를 도출하며, Pickands 및 Piterbarg 부등식의 확장된 형태를 사용한다. 이는 리스크 이론에서의 파산 확률과 첫 번째/마지재 통과 시간 근사에 대한 정확한 渐近 해를 도출하며, 특히 분수 차수 브라운 운동과 통합 가우시안 과정에서 일반화된 Piterbarg 상수가 모델 간의 渐近 세금 등가성을 지배함을 보여준다.

ABSTRACT

For a given centered Gaussian process with stationary increments $\{X(t), t\geq 0\}$ and $c>0$, let $$ W_\gamma(t)=X(t)-ct-\gamma\inf_{0\leq s\leq t}\left(X(s)-cs ight), \quad t\geq 0$$ denote the $\gamma$-reflected process, where $\gamma\in (0,1)$. This process is introduced in the context of risk theory to model surplus process that include tax payments of loss-carry forward type.In this contribution we derive asymptotic approximations of both the ruin probability and the joint distribution of first and last passage times given that ruin occurs. We apply our findings to the cases with $X$ being the multiplex fractional Brownian motion and the integrated Gaussian processes. As a by-product we derive an extension of Piterbarg inequality \KD{for} threshold-dependent random fields.

연구 동기 및 목표

• u → ∞ 일 때, W_γ(t)의 최대값에 대한 꼬리 확률 $ \mathbb{P}(\sup_{0\leq t\leq T} W_\gamma(t) > u) $에 대한 정확한 渐近 전개를 유도하는 것. 여기서 W_γ는 정staionary한 증분을 가진 γ-반사 가우시안 과정이다.
• 큰 임계값 u에 대한 첫 번째 및 마지막 통과 시간의 점근적 행동을 분석하며, 특히 파산 시간 근사의 맥락에서 고려한다.
• 비자기유사 설정에서 발생하는 임계값 의존성 가우시안 랜덤 필드에 대해 고전적인 극값 이론 결과—특히 Pickands 및 Piterbarg 부등식—을 확장하는 것.
• 일반화된 Piterbarg 상수를 통해 점근적 파산 확률 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) $ 를 특징짓고, 세금이 있는 모델과 없는 모델 간의 정확한 점근적 세금 등가성을 확립하는 것.
• 분수 차수 브라운 운동과 통합 가우시안 과정과 같은 구체적 과정들에 결과를 적용하여, $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $ 의 극한에 따라 꼬리 행동의 의존성 구조 기반 삼중성(trichotomy)을 드러내는 것.

제안 방법

• X는 중심 가우시안 과정이며, 증분이 정staionary한 경우, $ \gamma \in (0,1) $ 이면 $ W_\gamma(t) = X(t) - ct - \gamma \inf_{0\leq s\leq t} (X(s) - ct) $ 를 정의하여 세금 또는 유체 대기열을 모델링하는 γ-반사 과정을 도입한다.
• 원래 과정의 스케일링에서 유도된 임계값 의존성 랜덤 필드 $ Y_u(s,t) = \frac{X(tu) - \gamma X(su)}{1 + ct - c\gamma s} $ 의 최대값을 분석하기 위해 통일된 이중합 방법을 적용한다.
• Pickands-Piterbarg 보조정리(보조정리 5.3)의 통일된 형태를 개발하고, Piterbarg 부등식(보조정리 5.1)을 임계값 의존성 가우시안 필드로 확장하여 비자기유사 조건 하에서의 점근적 분석을 가능하게 한다.
• 분산 함수 $ \sigma^2(t) $ 에 정규 변동 조건을 도입하며, 영역 근처에서는 $ \sigma^2(t) \sim t^{2\alpha_0} $ 이고, 무한대에서는 $ \sigma^2(t) \sim t^{2\alpha_\infty} $ 라고 가정하여 점근 전개를 유도한다.
• 제한 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u \in [0,\infty] $ 에 따라 세 가지의 별개의 점근적 영역을 식별하며, 각각 단기적, 브라운 운동, 장기적 의존성에 해당한다.
• 일반화된 Piterbarg 상수 $ P_a^Z $ 는 $ \mathbb{E}\left[\sup_{t\in[0,\infty)} \exp\left(\sqrt{2}Z(t) - (1+a)\mathrm{Var}(Z(t))\right)\right] $ 로 정의되며, 세금이 있는 모델과 없는 모델 간의 점근적 등가성을 표현하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 과정 X의 의존성 구조, 특히 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $ 를 통해 γ-반사 가우시안 과정의 최대값의 점근적 행동은 어떻게 달라지나?
• RQ2 무한 수평에서의 파산 확률 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) = \mathbb{P}(\sup_{t\geq 0} W_\gamma(t) > u) $ 의 정확한 점근적 전개는 무엇이며, 이는 세금이 없는 경우의 파산 확률과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 파산 사건이 발생할 조건 하에서 첫 번째 및 마지막 통과 시간 $ \tau_1(u) $ 과 $ \tau_2(u) $ 의 점근적 분포 행동은 어떻게 되며, 세금율 $ \gamma $ 는 그 점근적 분포에 영향을 미치는가?
• RQ4 Pickands-Piterbarg 보조정리 및 Piterbarg 부등식과 같은 고전적인 극값 결과는 비자기유사 과정에서 유도된 임계값 의존성 가우시안 랜덤 필드로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 일반화된 Piterbarg 상수 $ P_a^Z $ 는 세금이 있는 모델과 없는 모델 간의 파산 확률 점근적 등가성을 어떻게 지배하는가? 그리고 분수 차수 브라운 운동에서의 허스트 지수 H에 따라 어떻게 변하는가?

주요 결과

• 점근적 파산 확률 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) $ 의 행동은 $ \phi = \lim_{u\to\infty} \sigma^2(u)/u $ 에 의해 삼중성(trichotomy)을 보이며, $ \phi \in (0,\infty) $, $ \phi = 0 $, $ \phi = \infty $ 에 따라 각각 브라운 운동, 단기적 의존성, 장기적 의존성 과정에 해당하는 별개의 점근적 영역이 존재한다.
• 허스트 지수 $ H \in (0,1) $ 인 분수 차수 브라운 운동의 경우, 점근적 파산 확률은 $ \psi_{\gamma,\infty}(u) \sim P_\gamma^{V_\phi} \psi_{0,\infty}(u) $ 를 만족하며, 여기서 $ \gamma := (1-\gamma)/\gamma $ 이고, $ V_\phi $ 는 $ \phi $ 에 따라 달라지는 상수이다. 이는 점근적 세금 등가성을 확립한다.
• 일반화된 Piterbarg 상수 $ P_a^Z $ 는 세금이 있는 모델과 없는 모델 간의 파산 확률 간의 스케일링을 지배하며, $ H = 1/2 $ 과 $ H = 1 $ 에 대해서는 명시적 표현을 도출하고, 일반적인 $ H \in (0,1) $ 에 대해서는 경계를 제공한다.
• 파산 조건 하에서의 첫 번째 및 마지막 통과 시간 $ \tau_1(u) $ 과 $ \tau_2(u) $ 는 $ u \to \infty $ 일 때 동일한 점근적 분포를 가지며, 이는 $ \gamma $ 와 무관하다. 이는 $ \gamma = 0 $ 인 경우에 알려진 결과를 확장한다.
• 이 논문은 Pickands-Piterbarg 보조정리의 통일된 확장과 Piterbarg 부등식의 임계값 의존성 형태를 확립하였으며, 이는 현재 설정 외의 다른 임계값 의존성 가우시안 필드에 적용 가능한 일반 도구이다.
• 유한 수평의 경우 $ \psi_{\gamma,T}(u) $ 에서는 최대값이 점점 $ t = T $ 근처에 집중되며, 분산 함수 $ \sigma_{1,u}(s,t) $ 의 최대값은 $ (0,T) $ 근처의 작은 이웃에서 도달하며, $ u \to \infty $ 일 때 최대값은 $ \sigma^2(T) $ 에 수렴한다.