[논문 리뷰] Facial Reduction and Partial Polyhedrality

Bruno F. Lourenço, Masakazu Muramatsu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 08.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 29인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 쌍대 비음성 원소 원뿔 Dn에 대해 최악의 경우 n회 반복으로 수렴하도록 보장하는 FRA-Poly라는 새로운 얼굴 감소 알고리즘을 제안한다. 다각형 면을 특별히 다루고 부분 다각형성의 특성을 활용함으로써, 고전적인 얼굴 감소 알고리즘의 O(n²) bound에 비해 극적으로 반복 수를 줄였다. 또한 Gordan-Stiemke 정리의 일반화를 제공하고, 특이도 및 약한 비가능성 하위공간에 대한 개선된 bound를 제시한다.

ABSTRACT

We present FRA-Poly, a facial reduction algorithm (FRA) for conic linear programs that is sensitive to the presence of polyhedral faces in the cone. The main goals of FRA and FRA-Poly are the same, i.e., finding the minimal face containing the feasible region and detecting infeasibility, but FRA-Poly treats polyhedral constraints separately. This idea enables us to reduce the number of iterations drastically when there are many linear inequality constraints. The worst case number of iterations for FRA-poly is written in the terms of a "distance to polyhedrality" quantity and provides better bounds than FRA under mild conditions. In particular, in the case of the doubly nonnegative cone, FRA-Poly gives a worst case bound of $n$ whereas the classical FRA is $\mathcal{O}(n^2)$. Of possible independent interest, we prove a variant of Gordan-Stiemke's Theorem and a proper separation theorem that takes into account partial polyhedrality. We provide a discussion on the optimal facial reduction strategy and an instance that forces FRAs to perform many steps. We also present a few applications. In particular, we will use FRA-poly to improve the bounds recently obtained by Liu and Pataki on the dimension of certain affine subspaces which appear in weakly infeasible problems.

연구 동기 및 목표

• 다각형 면의 존재를 활용하여 원뿔 선형 프로그램에서 얼굴 감소 반복 수를 줄이는 것.
• 다각형 제약 조건을 별도로 처리함으로써 최악의 복잡도를 향상시킨 새로운 얼굴 감소 알고리즘 FRA-Poly를 개발하는 것.
• 특히 이중 비음성 원뿔 Dn에 대해 원뿔 프로그램의 특이도에 대한 더 날카운 bound를 제공하는 것.
• 부분 다각형성을 고려한 고전적 정리들(예: Gordan-Stiemke 정리)을 일반화하는 것.
• Liu와 Pataki가 연구한 바와 같이, 약한 비가능성 문제와 관련된 하위공간의 차원에 대한 기존 bound를 향상시키는 것.

제안 방법

• FRA-Poly는 두 단계로 구성된다: 제1단계는 다각형 블록을 포함하는 면에 도달할 때까지 표준 얼굴 감소를 수행하며, 제2단계는 한 번의 단계로 최소 면으로 바로 이동한다.
• 알고리즘은 새로운 척도인 '다각형성까지의 거리' ℓpoly(K)를 사용한다. 이는 다각형 면에서 시작하는 엄격히 증가하는 비어 있지 않은 면의 최장 연쇄의 길이를 측정한다.
• K = K₁ × ⋯ × Kᵣ와 같은 곱 원뿔의 경우, FRA-Poly는 최대 1 + Σᵢ ℓpoly(Kᵢ) 단계 내에 종료되며, 최소 두 개의 Ki가 부분공간이 아닌 한 고전적 FRA보다 엄격히 작다.
• 이 방법은 일반화된 적절한 분리 정리(정리 4)와 부분 다각형성을 고려한 Gordan-Stiemke 정리의 변형(정리 5)에 기반한다.
• 직접 곱 원뿔의 구조를 활용하며, Fᵢ = F₁ᵢ × ⋯ × Fᵣᵢ인 면은 각 Fⱼᵢ가 다각형이거나 이미 최소 면의 j번째 블록과 일치할 경우 최소 면으로 감소시킬 수 있다.
• 알고리즘은 Dn = Sⁿ₊ ∩ Nⁿ인 이중 비음성 원뿔에 적용되며, 이 경우 특이도가 최대 n임을 증명함으로써 고전적 O(n²) bound를 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다각형 제약 조건을 다른 원뿔 제약 조건과 동일하게 다루는 대신 별도로 처리함으로써 얼굴 감소를 가속화할 수 있는가?
• RQ2 부분 다각형성이 존재할 경우 원뿔 프로그램의 최악의 얼굴 감소 단계 수는 얼마이며, 고전적 얼굴 감소와 비교해 볼 때 어떻게 다른가?
• RQ3 '다각형성까지의 거리' ℓpoly(K)는 곱 원뿔에서 얼굴 감소의 복잡도를 어떻게 측정하는가?
• RQ4 FRA-Poly는 특히 이중 비음성 원뿔 Dn에 대해 원뿔 프로그램의 특이도에 대해 더 날카운 bound를 제공할 수 있는가?
• RQ5 FRA-Poly는 약한 비가능성 문제와 관련된 하위공간의 차원에 대한 기존 bound를 어느 정도 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• FRA-Poly는 이중 비음성 원뿔 Dn에 대해 고전적 얼굴 감소의 O(n²)에서 n으로 최악의 경우 반복 수를 줄였다. 이는 고전적 방법에 비해 극적으로 향상된 결과이다.
• K = K₁ × ⋯ × Kᵣ와 같은 곱 원뿔의 경우, FRA-Poly는 최대 1 + Σᵢ ℓpoly(Kᵢ) 단계 내에 종료되며, 최소 두 개의 Ki가 부분공간이 아닌 한 고전적 FRA보다 엄격히 작다.
• 논문은 닫힌 볼록 원뿔과 다각형 원뿔의 곱으로 이루어진 원뿔에 대해 Gordan-Stiemke 정리의 일반화를 증명하였으며, 이는 고전적 쌍대성 결과를 확장한다.
• FRA-Poly는 다각형 블록을 포함하는 면에 도달한 후, 최소 면이 아니더라도 한 번의 단계로 강한 쌍대성을 복원할 수 있다.
• Dn 위에서 정의된 임의의 원뿔 선형 프로그램의 특이도는 최대 n이며, 고전적 bound인 n(n+1)/2보다 개선된 결과이다.
• 최근 Liu와 Pataki가 연구한 바와 같이, 약한 비가능성 문제와 관련된 아핀 하위공간의 차원에 대한 bound를 향상시켰다.