[논문 리뷰] Solving SDP Completely with an Interior Point Oracle

Bruno F. Lourenço, Masakazu Muramatsu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 29.

Numerical Methods and Algorithms참고 문헌 58인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 오직 강력 가용성 있는 원-이중 SDP 쌍을 해결하는 오라클만을 사용하여 임의의 축소 가능 프로그램(SDP)을 완전히 해결하는 방법을 제시한다. 원래 문제에 대해 이중 면 감소를 적용하고, 정규화된 문제의 이중 문제에 대해 다시 이중 면 감소를 적용함으로써, 양측에서 강력 가용성을 보장하여, 약한 불가능성과 도달되지 않은 최적값을 포함한 모든 악조건 케이스를 오라클이 해결할 수 있도록 한다. 핵심 결과는 임의의 SDP가 O(n)회의 오라클 호출로 완전히 해결될 수 있다는 것이다.

ABSTRACT

We suppose the existence of an oracle which solves any semidefinite programming (SDP) problem satisfying Slater's condition simultaneously at its primal and dual sides. We note that such an oracle might not be able to directly solve general SDPs even after certain regularization schemes are applied. In this work we fill this gap and show how to use such an oracle to "completely solve" an arbitrary SDP. Completely solving an SDP, includes, for example, distinguishing between weak/strong feasibility/infeasibility and detecting when the optimal value is attained or not. We will employ several tools, including a variant of facial reduction where all auxiliary problems are ensured to satisfy Slater's condition at all sides. Our main technical innovation, however, is an analysis of double facial reduction, which is the process of applying facial reduction twice: first to the original problem and then once more to the dual of the regularized problem obtained during the first run. Although our discussion is focused on semidefinite programming, the majority of the results are proved for general convex cones

연구 동기 및 목표

• 기존의 SDP 방법이 약한 불가능성이나 도달되지 않은 최적값과 같은 악조건 케이스를 처리하지 못하는 한계를 해결하기 위해.
• 어떤 SDP의 타당성, 불가능성, 최적값의 도달 여부를 완전히 특성화하는 프레임워크를 개발하기 위해.
• 오직 강력 가용성 있는 SDP만 해결할 수 있는 오라클이 정규화된 문제의 시퀀스를 통해 임의의 SDP 인스턴스를 해결하는 데 사용될 수 있음을 보여주기 위해.
• 면 감소 기법을 일반화하여, 정규화된 문제의 원본과 이중 문제 양측에서 강력 가용성을 확보하기 위해 이중 감소를 수행하기 위해.
• 기본 내부점 오라클에만 액세스할 수 있는 이론적으로 타당하고 다항시간 복잡도를 가지는 일반적인 콘형 선형 프로그램을 해결하기 위한 접근법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 원래 SDP에 면 감소를 적용하여 중복된 제약 조건을 식별하고 제거함으로써, 한 쪽에서 강력 가용성을 보장한다.
• 감소된 문제의 이중 문제를 구성하고, 다시 면 감소를 적용하여 원본과 이중 문제 양측에서 강력 가용성을 확보한다.
• 최소 면 내에서 작업함으로써 모든 보조 문제에서 강력 가용성을 보장하는 면 감소의 변종을 사용한다.
• 이중 면 감소 프로세스를 활용: 먼저 원래 문제를 감소시키고, 그 결과로 얻은 정규화된 문제의 이중 문제를 다시 감소시킨다.
• 각 강력 가용성 있는 보조 문제에 대해 내부점 오라클을 사용하는 재귀 알고리즘을 설계하여 원래 문제에 대한 완전한 정보를 추출한다.
• 일반적인 닫힌 볼록 콘에 대해, 전체 절차의 정당성과 다항시간 복잡도를 증명하며, SDP에 특화된 적용을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오직 강력 가용성 있는 SDP만 해결할 수 있는 오라클이, 약한 불가능성과 도달되지 않은 최적값을 포함한 임의의 SDP를 완전히 해결하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 SDP를 완전히 해결하기 위해 필요한 최소 오라클 호출 수는 얼마이며, 이는 문제 크기에 대해 다항적으로 유 bounds 가 가능한가?
• RQ3 이중 면 감소를 어떻게 두 번 적용하여 정규화된 문제의 원본과 이중 문제 양측에서 강력 가용성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 SDP를 초월하여 다른 유형의 볼록 콘 클래스로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 오라클 호출과 감소의 시퀀스로부터 원래 문제의 어떤 구조적 성질을 복원할 수 있는가?

주요 결과

• n×n 행렬에 대한 임의의 축소 가능 프로그램(SDP)은 오직 O(n)회의 내부점 오라클 호출로 완전히 해결될 수 있다.
• 이중 면 감소는 정규화된 문제의 원본과 이중 문제 양측에서 강력 가용성을 보장하여, 오라클의 신뢰성 있는 사용을 가능하게 한다.
• 이 방법은 강력 불가능성과 약한 불가능성 사이를 정확히 구분하며, 최적값이 도달되었는지 여부를 탐지할 수 있다.
• 이 접근법은 양의 준정적 행렬 콘뿐만 아니라 임의의 닫힌 볼록 콘으로 일반화될 수 있다.
• 알고리즘이 정당히 올바르고 다항시간 내에 실행되며, 모든 보조 문제에서 강력 가용성이 보장된다.
• 논문은 면 감소를 체계적으로 두 번 적용하여 콘형 최적화에서 발생하는 병리적 현상을 해결하고, 완전한 해결 프레임워크를 제공함을 수립한다.