[논문 리뷰] Factorization homology and calculus à la Kontsevich Soibelman

Geoffroy Horel|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 체인 복합체 또는 가환 링 스펙트럼 위의 가환 대수에서의 상대적 토폴로지 Hochschild 코호몰로지와 호몰로지의 쌍에 대해 Kontsevich-Soibelman의 색칠된 오페라드 $σ\mathcal{KS}$의 작용을 구축한다. 경계를 가진 다양체 위의 분할 호몰로지와 스위스치즈 오페라드를 사용하여, 고전적 비가환 미적분학 구조를 체인 수준으로 승격시키며, $σ\mathcal{KS}$-대수를 통한 높은 차원으로의 Deligne의 추측을 일반화한다.

ABSTRACT

Using factorization homology techniques, we give a simple proof of the action of Kontsevich and Soibelman operad on the pair consisting of Hochschild cohomology and Hochschild homology. The proof obviously extends to higher Hochschild cohomology and factorization (also called chiral) homology. Note that our result works in categories of chain complexes but also in categories of modules over a commutative ring spectrum.

연구 동기 및 목표

• 고전적 비가환 미적분학의 구조를 Hochschild (코)호몰로지에 대해 체인 수준에서의 체계적인 작용으로 승격시키기.
• 경계가 있는 다양체 위의 분할 호몰로지를 사용하여, little 2-disk 작용에 대한 Deligne의 추측을 높은 차원으로 일반화하기.
• 위상적 Hochschild 코호몰로지와 호몰로지의 쌍이 높은 차원의 Kontsevich-Soibelman 오페라드 $σ\mathcal{KS}$ 위의 대수를 이룬다는 것을 확립하기.
• $σ\mathcal{E}_d$-대수로의 프레임워크를 확장하여, Hochschild 호몰로지를 분할 호몰로지로, 코호몰로지를 유도된 내림차순 사상으로 대체하기.
• 결과로 얻어진 구조가 체인 복합체와 링 스펙트럼, 특히 유리수로 그룹화되지 않은 경우에도 호환됨을 증명하기.

제안 방법

• 프레임드 경계가 있는 다양체 위의 분할 호몰로지를 사용하며, 이를 제품 프레임이 있는 다양체에 대한 임bedding을 통해 정의한다.
• Kontsevich와 Soibelman이 정의한 바와 같이, 실린더의 경계 위의 디스크에 의해 매개화된 연산을 모델링하기 위해 스위스치즈 오페라드를 적용한다.
• 가환 링 스펙트럼 위의 오페라드와 모듈러의 호모토피 이론을 사용하여, 경계가 있는 프레임드 다양체의 범주에서 목표 범주로의 대칭 모노이드 함자를 구성한다.
• Yoneda 보조정리와 임베딩 공간 간의 호모토피 동치를 활용하여, 실린더의 분할 호몰로지를 대수의 Hochschild 호몰로지로 식별한다.
• 작용의 구조를 유도하기 위해, $M_{\tau}^{\circlearrowright}\mathcal{M}od$ 오페라드에서 쌍 $(D, M \times [0,1))$의 내림차순 오페라드로의 사상 구축.
• Hinich와 Fresse가 확립한 $C_*(\mathcal{O})$-대수의 단순화된 모델 구조를 사용하여, 비유계 체인 복합체로의 변환을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 비가환 미적분학의 구조가 Hochschild (코)호몰로지에 대해 체인 수준에서의 일관된 작용으로 승격될 수 있는가?
• RQ2 Kontsevich-Soibelman 오페라드 $\mathcal{KS}$의 높은 차원 버전이 분할 호몰로지와 고차원 Hochschild 코호몰로지에 작용하는가?
• RQ3 경계가 있는 다양체와 고차원 little $d$-disk 오페라드 위의 대수에 대해 Deligne의 추측을 자연스럽게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 이 구성은 유리수로 그룹화되지 않은 설정을 포함하여, 가환 링 스펙트럼 위의 체인 복합체의 범주로 확장될 수 있는가?
• RQ5 위상적 Hochschild 코호몰로지와 호몰로지 사이의 상호작용을 지배하는 정확한 오페라드적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 가환 링 스펙트럼 위의 결합 대수 $A$에 대해, 위상적 Hochschild 코호몰로지 $\mathrm{HH}^*(A)$와 호몰로지 $\mathrm{HH}_*(A)$의 쌍은 Kontsevich-Soibelman 오페라드 $\mathcal{KS}$ 위의 대수와 약한 동치이다.
• $\mathcal{KS}$의 작용은 고전적 Gerstenhaber 미적분학의 구조를 체인 수준으로 승격시키며, Schouten-Nijenhuis 괄호, 캡 곱, 리 도함수를 포함한다.
• 이 구성은 $\mathcal{E}_d$-대수로 일반화되며, 여기서 Hochschild 코호몰로지는 유도된 내림차순 사상으로, Hochschild 호몰로지는 $(d-1)$-다양체 위의 분할 호몰로지로 대체된다.
• 프레임드 $(d-1)$-다양체 $M$에 대해, 쌍 $(\mathrm{HH}_{\mathcal{E}_{d-1}}(A), \int_M A)$는 고차원 오페라드 $M_{\tau}^{\circlearrowright}\mathcal{M}od$ 위의 대수와 약한 동치이며, 이는 미적분학적 구조를 지배한다.
• 비유계 체인 복합체의 경우, $C_*(\mathcal{O})$-대수를 통해 결과가 성립하며, 분할 호몰로지는 $C_*(\mathbf{E}_d)$ 위의 유도된 텐서곱으로 정의되며, 이는 유리수로 그룹화되지 않은 설정으로의 프레임워크 확장을 가능하게 한다.