[논문 리뷰] Failure of the curvature-dimension condition in sub-Finsler manifolds

Mattia Magnabosco, Tommaso Rossi|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 04.

Advanced Differential Geometry ResearchPhysics and Astronomy인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 강하게 볼록한 노름과 $C^{1,1}$-정규성의 헤이젠베르크 군에서조차도, 부분-핀슬러 다양체에서 곡률-차원 조건 $\mathsf{CD}(K,N)$가 성립하지 않음을 보여준다. 줄리에의 방법을 변형하고 새로운 기하 도구를 도입하여, 지오데식을 따라 체적 수축이 요구되는 볼록성 위반을 증명하였으며, 또한 특이한 노름 하에서 더 약한 $\mathsf{MCP}(K,N)$ 조건 역시 실패함을 보였다. 이는 이러한 합성 곡률 경계가 부분-핀슬러 기하학과 본질적으로 불일치함을 시사한다.

ABSTRACT

The Lott-Sturm-Villani curvature-dimension condition $\mathsf{CD}(K,N)$ provides a synthetic notion for a metric measure space to have curvature bounded from below by $K$ and dimension bounded from above by $N$. It has been recently proved that this condition does not hold in sub-Riemannian geometry for every choice of the parameters $K$ and $N$. In this paper, we extend this result to the context sub-Finsler geometry, showing that the $\mathsf{CD}(K,N)$ condition is not well-suited to characterize curvature in this setting. Firstly, we show that this condition fails in (strict) sub-Finsler manifolds equipped with a smooth strongly convex norm and with a positive smooth measure. Secondly, we focus on the sub-Finsler Heisenberg group, proving that curvature-dimension bounds can not hold also when the reference norm is less regular, in particular when it is of class $C^{1,1}$. The strategy for proving these results is a non-trivial adaptation of the work of Juillet [Rev. Mat. Iberoam., 37(1):177-188, 2021], and it requires the introduction of new tools and ideas of independent interest. Finally, we demonstrate the failure of the (weaker) measure contraction property $\mathsf{MCP}(K,N)$ in the sub-Finsler Heisenberg group, equipped with a singular strictly convex norm and with a positive smooth measure. This result contrasts with what happens in the \sr Heisenberg group, which instead satisfies $\mathsf{MCP}(0,5)$.

연구 동기 및 목표

• 부분-핀슬러 기하학에서 합성 곡률-차원 조건 $\mathsf{CD}(K,N)$가 성립하는지 조사하며, 기존의 부분-리만 노름에서의 실패를 확장한다.
• 매끄럽고 엄밀히 볼록한 부분-핀슬러 다양체에서, 매끄러운 측도를 지닌 $\mathsf{CD}(K,N)$ 조건이 성립하지 않음을 입증한다.
• 헤이젠베르크 군에서 $C^{1,1}$-정규성의 노름을 가진 부분-핀슬러 헤이젠베르크 군에서 $\mathsf{CD}(K,N)$ 조건의 실패를 분석한다.
• 헤이젠베르크 군에서 특이하고 엄밀히 볼록한 노름 하에서 더 약한 $\mathsf{MCP}(K,N)$ 조건도 실패함을 증명한다.
• 유일한 최소화자가 존재함에도 불구하고 지오데식의 분기화가 유일하게 발생할 수 있음을 보이며, 전통적 직관에 도전한다.

제안 방법

• Juillet의 접근법을 적응하여, $\mathsf{CD}(K,N)$를 위반하기 위해 비정상적인 부분 세그먼트를 지닌 지오데식의 가족을 구성한다.
• $\mathscr{A}$ 라는 집합을 구성하여, 초기 조건이 유일한 지오데식을 생성하고, 작은 $t$ 에서 $z=0$ 평면에 머무르게 하여 체적 수축 추정치를 위반한다.
• 헤이젠베르크 군에서 지오데식 행동을 분석하기 위해 볼록 삼각법과 쌍대 노름 $\Omega^\circ$ 를 사용한다.
• 지오데식의 지표와 종점 지도를 분석하여 극값 곡선과 그 정규성의 특성을 규명한다.
• 면적 대 길이 제곱 비율의 엄격한 단조성 증명을 위해, 볼록한 $C^1$ 함수를 포함하는 새로운 기하 부등식을 도입한다. 이는 모순을 이끌어내는 데 핵심적이다.
• Brunn–Minkowski 부등식 $\mathsf{BM}(K,N)$ 을 적용하여, $t$-중점 $M_t(A,B)$ 의 측도를 통해 모순을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄럽고 강하게 볼록한 노름과 양의 매끄러운 측도를 지닌 매끄러운 부분-핀슬러 다양체에서 $\mathsf{CD}(K,N)$ 조건이 성립하는가?
• RQ2 노름이 $C^{1,1}$-정규성 뿐이라면, 부분-핀슬러 헤이젠베르크 군에서 $\mathsf{CD}(K,N)$ 가 성립할 수 있는가?
• RQ3 노름이 특이하고 엄밀히 볼록한 경우, 부분-핀슬러 헤이젠베르크 군에서 더 약한 $\mathsf{MCP}(K,N)$ 조건이 성립하는가?
• RQ4 쌍대 노름 $\Omega^\circ$ 의 기하학적 성질이 곡률 경계의 실패에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유일한 지오데식이 존재함에도 불구하고 부분-핀슬러 기하학에서 지오데식의 분기화가 발생할 수 있는가? 이는 합성 곡률 조건에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 모든 매끄럽고 엄밀히 볼록한 부분-핀슬러 다양체에서 양의 매끄러운 측도를 지닌 $\mathsf{CD}(K,N)$ 조건은 $K$ 와 $N$ 에 관계없이 실패한다.
• 노름이 $C^{1,1}$-정규성인 부분-핀슬러 헤이젠베르크 군에서, 지오데식을 따라 체적 수축 추정치 위반이 발생하여 $\mathsf{CD}(K,N)$ 조건이 실패한다.
• 노름이 특이하고 엄밀히 볼록한 경우, 부분-핀슬러 헤이젠베르크 군에서 $\mathsf{MCP}(K,N)$ 조건은 실패한다. 이는 부분-리만 노름에서는 $\mathsf{MCP}(0,5)$ 가 성립하는 것과 대조된다.
• 작은 $t$ 에서 평면 $\{y=0,z=0\}$ 에 머무르는 지오데식의 가족이 존재하여, 예상되는 체적 성장과 모순되며 $\mathsf{CD}(K,N)$ 부등식을 위반한다.
• 특이한 부분-핀슬러 헤이젠베르크 군에서 유일한 지오데식이 존재함에도 불구하고 지오데식의 분기화가 유일하게 발생한다. 이는 전통적 기대에 도전한다.
• 새로운 기하 부등식을 증명하였다: $C^1$ 볼록 함수 $f$ 에 대해 비율 $a(s)/d(s)^2$ 는 엄격히 감소한다. 이는 증명에서 모순을 이끌어내는 데 필수적이다.