[논문 리뷰] Fast Hybrid Schemes for Fractional Riccati Equations (Rough is not so Tough)

Giorgia Callegaro, Martino Grasselli외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라프 헤스톤 스토케스틱 볼라티리티 모델에서 나타나는 분수 차수 리카티 미분방정식을 해결하기 위한 빠른 하이브리드 수치적 방법을 제안한다. 이 방법은 거듭제곱 급수 전개와 외삽 기법을 조합하여 수렴 반경을 초월한 해를 확장한다. 이 방법은 높은 정확도와 계산 효율성을 달성하여 옵션 가격 설정 응용에서 표준 아담스 방법을 능가한다.

ABSTRACT

We solve a family of fractional Riccati differential equations with constant (possibly complex) coefficients. These equations arise, e.g., in fractional Heston stochastic volatility models, that have received great attention in the recent financial literature thanks to their ability to reproduce a rough volatility behavior. We first consider the case of a zero initial value corresponding to the characteristic function of the log-price. Then we investigate the case of a general starting value associated to a transform also involving the volatility process. The solution to the fractional Riccati equation takes the form of power series, whose convergence domain is typically finite. This naturally suggests a hybrid numerical algorithm to explicitly obtain the solution also beyond the convergence domain of the power series representation. Our numerical tests show that the hybrid algorithm turns out to be extremely fast and stable. When applied to option pricing, our method largely outperforms the only available alternative in the literature, based on the Adams method.

연구 동기 및 목표

• 라프 헤스톤 모델에서 발생하는 상수 복소계수를 가진 분수 차수 리카티 미분방정식을 효율적으로 해결하기 위한 수치적 방법을 개발하는 것.
• 거듭제곱 급수 해법이 유한한 영역 내에서만 수렴한다는 한계를 극복하기 위해 하이브리드 수치 기법을 활용해 그 유효성을 연장하는 것.
• 금융 모델링에서 분수 차수 상미분방정식을 해결하기 위한 아담스 방법에 대한 계산 효율성이 뛰어난 대안을 제공하는 것.
• 로그 가격과 볼라티리티를 포함한 공동 변환에 대한 특성 함수를 정확하고 신속하게 계산할 수 있도록 하는 것. 이는 옵션 가격 설정에 핵심적이다.
• 특히 라프 볼라티리티를 가진 단기 만기 옵션에 대해 실용적인 옵션 가격 설정 시나리오에서 이 방법의 강건성과 속도를 입증하는 것.

제안 방법

• 분수 차수 리카티 방정식의 해는 시간에 대한 거듭제곱 급수로 표현되며, 계수는 감마 함수와 분수 도함수를 포함한 재귀 관계로부터 유도된다.
• 수렴 분석은 감마 함수 비율의 상한과 재귀적 추정을 사용하여 수행되며, 거듭제곱 급수의 유한한 수렴 반경을 확립한다.
• 수렴 영역 내에서의 거듭제곱 급수 해법과 리처드슨-롬버그 유사 외삽 기법을 조합하여 정확도를 수렴 반경을 초월해 연장하는 하이브리드 알고리즘을 구성한다.
• 이 방법은 라프 헤스톤 모델의 아핀 구조를 활용하여 옵션 가격 설정 문제를 복소계수를 가진 분수 차수 리카티 방정식의 해법으로 환원한다.
• 감마 함수와 분수 미적분학의 성질을 이용한 계수의 재귀적 경계 설정을 통해 안정성과 수렴성을 증명한다.
• 알고리즘은 분석적 급수 전개와 수치적 외삽을 조합하여 계산 비용을 최소화하면서도 높은 정밀도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거듭제곱 급수 해법이 유한한 수렴 반경을 가질 때, 수치적 하이브리드화 기법을 통해 이를 초월해 확장할 수 있는가?
• RQ2 금융 분야에서 분수 차수 상미분방정식을 해결할 때 제안된 하이브리드 방법이 표준 아담스 방법에 비해 속도와 정확도에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 복소계수를 가진 분수 차수 리카티 방정식에 대해 거듭제곱 급수 해법의 이론적 수렴 영역과 안정성 행동은 어떠한가?
• RQ4 라프 볼라티리티 하에서 단기 만기 옵션 가격 설정에 대해 하이브리드 방법이 정확도와 효율성을 어느 정도 유지할 수 있는가?
• RQ5 특성 함수 계산에서 초기 조건이 0이거나 0이 아닌 경우를 모두 다룰 수 있도록 이 방법을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 분수 차수 리카티 방정식의 거듭제곱 급수 해법은 오직 유한한 반경 내에서 수렴하므로, 장시간 또는 고만기 옵션 가격 설정에 직접적으로 사용할 수 없다는 한계가 있다.
• 제안된 하이브리드 방법은 거듭제곱 급수의 수렴 반경을 초월하여 해를 성공적으로 연장하여 더 넓은 시간 영역에서 정확한 계산이 가능해졌다.
• 수치적 실험 결과, 하이브리드 방법은 아담스 방법보다 뚜렷이 빠르고 안정적이며, 특히 고정밀도 옵션 가격 설정에 유리하다.
• 이 방법은 작은 시간 영역에서도 높은 정확도를 달성하여, 라프 볼라티리티 특성을 지닌 단기 만기 옵션 가격 설정에 특히 적합하다.
• 계수의 재귀적 경계 설정을 통한 이중 색인 급수의 수렴성은 이론적으로 입증되었으며, 이 방법의 타당성을 확립한다.
• 알고리즘의 성능은 H ∈ (0,1) 범위의 허스트 매개수 H의 다양한 값에서 뛰어나게 유지되며, 다양한 라프 볼라티리티 모델에의 응용 가능성을 뒷받침한다.