[논문 리뷰] Fast quantum algorithms for approximating some irreducible representations of groups

Stephen P. Jordan|ArXiv.org|2008. 11. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 45인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 $S_n$, 교환군 $A_n$, 그리고 리 군 $U(n)$, $SU(n)$, $SO(n)$와 같은 중요한 군의 기약 표현의 행렬 원소를 다항 시간 내에 근사하는 양자 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘들은 양자 푸리에 변환과 양자 슈어 변환을 활용한다. 최악의 경우에 대해 고전적 방법에 비해 지수적 속도 향상을 달성하지만, 평균적인 경우의 행렬 원소 추정은 고전적으로도 효율적이다.

ABSTRACT

We consider the quantum complexity of estimating matrix elements of unitary irreducible representations of groups. For several finite groups including the symmetric group, quantum Fourier transforms yield efficient solutions to this problem. Furthermore, quantum Schur transforms yield efficient solutions for certain irreducible representations of the unitary group. Beyond this, we obtain poly(n)-time quantum algorithms for approximating matrix elements from all the irreducible representations of the alternating group A_n, and all the irreducible representations of polynomial highest weight of U(n), SU(n), and SO(n). These quantum algorithms offer exponential speedup in worst case complexity over the fastest known classical algorithms. On the other hand, we show that average case instances are classically easy, and that the techniques analyzed here do not offer a speedup over classical computation for the estimation of group characters.

연구 동기 및 목표

• 유한군과 컴act 리 군의 기약 표현 행렬 원소를 근사하는 효율적인 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 양자 계산이 고전적 계산에 비해 지수적 속도 향상을 제공하는 군 표현의 범주를 규명하는 것.
• 군 표현의 행렬 원소 추정과 특징 추정의 양자 복잡도를 명확히 하는 것.
• 기존의 양자 푸리에 변환과 양자 슈어 변환 알고리즘을 더 넓은 범위의 군과 표현으로 확장하는 것.
• 행렬 원소 근사에 있어서 고전적으로 어려운 경우와 쉬운 경우의 경계를 조사하는 것.

제안 방법

• 유한군 중에서 푸리에 변환이 효율적인 군, 예를 들어 $S_n$과 같은 군의 기약 표현을 효율적으로 구현하기 위해 양자 푸리에 변환을 활용하는 것.
• 유니터리 군 $U(n)$의 기약 표현을 효율적으로 구현하기 위해 양자 슈어 변환을 사용하는 것.
• 행렬 원소 $\langle \psi | U | \psi \rangle$의 실수 부분을 양자 회로 측정을 통해 추정하기 위해 헤이드라드 테스트를 적용하는 것.
• 자기 수반 양다이어그램과 부호 대칭성을 활용하여 $A_n$의 기약 표현에 대한 다항 시간 양자 회로를 구성하는 것.
• 겔판트-츠틀린 표현에서 유도된 해밀토니안에 대한 시간 진동을 시뮬레이션하여 이론을 리 군으로 확장하는 것. 이때 연산자 노름이 유한하게 유지되도록 보장하는 것.
• 리 대수 표현 $a_{\vec{m}}(H_p)$의 노름이 행렬 내 위치 $p$에 따라 영향을 받지 않음을 증명함으로써, 모든 해밀토니안 항에 대해 균일한 시뮬레이션 복잡도를 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기약 표현의 행렬 원소를 근사하는 데 있어 $A_n$에 대해 효율적인 양자 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ2 다항 최고 무게 표현을 가진 $U(n)$, $SU(n)$, $SO(n)$에 대해 양자 알고리즘이 고전 알고리즘에 비해 지수적 속도 향상을 제공하는가?
• RQ3 $S_n$의 기약 표현 행렬 원소 추정 문제는 최악의 경우에 고전적으로 어려운가? 그리고 양자 알고리즘이 이를 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 왜 행렬 원소에 대해 성공한 기법들이 $S_n$의 정규화된 특징 추정에는 속도 향상을 제공하지 못하는가?
• RQ5 브레이드 군의 존스-웬즐 표현과 대칭군의 경우에서, 행렬 원소 근사와 특징 근사의 복잡도 간의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 모든 $A_n$의 기약 표현에 대해 $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$ 시간 내에 $\pm\epsilon$ 이내로 행렬 원소를 근사하는 양자 알고리즘을 구성한다.
• $U(n)$, $SU(n)$, $SO(n)$에 대해서는 다항 최고 무게 표현에 대해 $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$ 시간 내에 행렬 원소를 근사하는 알고리즘을 제공한다.
• 이 알고리즘들은 이러한 군에서의 행렬 원소 추정에 대해 가장 빠른 알려진 고전 알고리즘에 비해 지수적 최악의 경우 속도 향상을 제공한다.
• 행렬 원소 추정의 평균적인 경우는 고전적으로도 쉽게 처리 가능하며, 이는 $S_n$의 정규화된 특징에 대해 $\mathrm{poly}(n, 1/\epsilon)$ 시간 내에 작동하는 고전적 랜덤화 알고리즘이 존재함으로써 입증된다.
• 기법들이 $S_n$의 정규화된 특징 추정에 대해 양자 속도 향상을 제공하지는 않으며, 이는 이들 문제가 BPP 및 DQC1-완전성임을 보여준다.
• 행렬 내 위치 $p$에 관계없이 $\|a_{\vec{m}}(H_p)\|$의 노름이 독립적임을 증명함으로써, 모든 해밀토니안 항에 대해 균일한 시뮬레이션 복잡도를 보장한다.