[논문 리뷰] Feasibility of Portfolio Optimization under Coherent Risk Measures

Imre Kondor, Istvan Varga-Haszonits|ArXiv.org|2008. 03. 15.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 표본에서 한 자산이 다른 자산들보다 지배할 경우, 일관된 위험 측도(예: 기대손실 및 최대손실 포함)를 사용한 포트폴리오 최적화가 불안정해지고, 위험 추정치가 무한히 작아지게(마이너스 무한대 방향으로 발산) 될 수 있음을 보여준다. 이 불안정성은 일관성 공리에 기인하며, 표본 변동성이 거짓된 지배를 만들어내는 경우에 일관된 위험 측도가 극단적인 위험 감소를 잘못 신호함으로써 발생한다. 이는 실세계의 유한한 데이터 환경에서 최적화의 타당성을 해친다.

ABSTRACT

It is shown that the axioms for coherent risk measures imply that whenever there is an asset in a portfolio that dominates the others in a given sample (which happens with finite probability even for large samples), then this portfolio cannot be optimized under any coherent measure on that sample, and the risk measure diverges to minus infinity. This instability was first discovered on the special example of Expected Shortfall which is used here both as an illustration and as a prompt for generalization.

연구 동기 및 목표

• 유한 표본 환경에서 일관된 위험 측도를 통한 포트폴리오 최적화의 타당성을 조사하기 위해.
• 기대손실(ES)에서 관찰된 불안정성이 ES에 국한되는지, 아니면 모든 일관된 위험 측도에 일반적으로 적용되는 성질인지 확인하기 위해.
• 일관된 위험 측도가 최적화 과정에서 무한대로 발산하는 수학적 조건을 분석하기 위해.
• 표본 변동성이 일관된 위험 기반 포트폴리오 최적화의 안정성에 미치는 영향을 평가하기 위해.
• 포트폴리오 가중치에 대한 제약 조건이 이 불안정성을 제거하는지 여부를 평가하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 한 자산이 주어진 유한 표본에서 모든 다른 자산보다 지배할 경우 일관된 위험 측도의 행동을 분석한다.
• 일관된 위험 측도의 공리를 사용하여, 이러한 지배가 발생할 경우 위험 측도가 마이너스 무한대로 발산하는 일반 조건을 유도한다.
• 특수한 경우로 최대손실(Minimax) 및 기대손실(ES)에 이론적 분석을 적용하여 불안정성을 시각화한다.
• 대규모 N(자산 수)과 T(표본 크기)의 극한에서 고정된 비율 N/T를 유지하면서 단계 전이 분석을 수행하여 최적화 가능성을 위한 임계 임계값을 규명한다.
• 복제 방법을 적용하여 기대손실의 단계도를 분석적으로 유도하며, 임계 N/T 비율의 존재를 확인한다.
• 포트폴리오 제약 조건의 역할을 검토하고, 표본 기반 지배로 인한 불안정성을 제거하지 못하고 오 que만 가려내는 것으로 밝혀진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포트폴리오 최적화에서 기대손실의 불안정성은 다른 일관된 위험 측도로도 확장되는가?
• RQ2 포트폴리오 최적화 과정에서 일관된 위험 측도가 언제 무한대로 발산하는가?
• RQ3 유한 표본에서 한 자산이 지배할 경우, 어떤 일관된 위험 측도를 쓰더라도 최적화 실패가 발생하는가?
• RQ4 자산 수 대 표본 크기의 비율 N/T가 일관된 위험 측도 기반 최적화의 타당성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 포트폴리오 가중치에 대한 제약 조건이 일관된 위험 측도의 표본 변동성에 기인한 불안정성을 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 일관된 위험 측도의 공리에 따르면, 한 자산이 유한 표본에서 모든 다른 자산보다 지배할 경우, 위험 측도는 마이너스 무한대로 발산하게 되며, 이는 최적화의 타당성을 상실하게 한다.
• 이 불안정성은 기대손실에 국한되지 않으며, 일관성 공리를 통한 증명을 통해 모든 일관된 위험 측도에 일반적으로 적용되는 성질임을 입증한다.
• 최대손실(Minimax) 위험 측도의 경우, T > N일지라도 최적화 타당성 확률은 1보다 작으며, 대규모 N과 T에서 N/T 비율이 1/2를 초과할 경우 급격히 감소한다.
• 기대손실의 경우, 최적화가 불가능해지는 임계 N/T 비율은 신뢰수준 α가 높아질수록 감소하며, 내림차순의 단계 경계를 형성한다.
• 이 불안정성은 표본 간 변동성에서 기인한다: 진정한 지배가 무한한 시간 간격에서 존재하지 않더라도, 거짓된 지배 신호가 발생할 수 있다.
• 포트폴리오 가중치 제약 조건은 불안정성을 해결하지 못하며, 해를 경계로 이동시킬 뿐이며, 이는 랜덤 변동성에 민감한 결과로 이어져 안정적인 위험 특성과는 거리가 멀다.