[논문 리뷰] Fekete-Szego inequality for Classes of Starlike and Convex Functions

Nusrat Raza, Eman S. A. AbuJarad외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 18.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $(p,q)$-미분 연산자를 사용하여 $(p,q)$-스타라이크 및 $(p,q)$-볼록 함수의 일반화된 클래스를 도입하고, 이러한 클래스에 대한 Fekete-Szeg"o 부등식을 수립한다. 또한 $(p,q)$-Bernardi 적분 연산자를 정의하여 계수 추정을 도출하며, $[n]_{p,q}$-수를 포함하는 명시적인 부등식을 통해 기하함수론의 고전적 결과를 $(p,q)$-미분법 프레임워크로 확장한다.

ABSTRACT

In the present paper, the new generalized classes of (p,q)-starlike and $(p,q)$-convex functions are introduced by using the (p,q)-derivative operator. Also, the (p,q)-Bernardi integral operator for analytic function is defined in an open unit disc. Our aim for these classes is to investigate the Fekete-Szego inequalities. Moreover, Some special cases of the established results are discussed. Further, certain applications of the main results are obtained by applying the (p,q)-Bernardi integral operator

연구 동기 및 목표

• 고전적 스타라이크 및 볼록 함수를 $(p,q)$-미분 연산자를 도입하여 일반화한다.
• 신규로 정의된 $(p,q)$-스타라이크 및 $(p,q)$-볼록 함수에 대한 Fekete-Szeg"o 부등식을 수립한다.
• 단위 원판 위의 해석적 함수의 맥락에서 $(p,q)$-Bernardi 적분 연산자를 정의하고 분석한다.
• 특히 $a_3 - \mu a_2^2$에 대해 이러한 일반화된 클래스의 계수 추정을 유도한다.
• 주요 결과를 $(p,q)$-Bernardi 연산자를 통해 적용하고, 기존 클래스의 특수한 경우를 복원함으로써 응용 가능성을 보여준다.

제안 방법

• 논문은 $0 < q < p \leq 1$ 인 경우에 대해 $D_{p,q}f(z) = \frac{f(pz) - f(qz)}{(p-q)z}$ 로 정의된 $(p,q)$-미분 연산자 $D_{p,q}$ 를 사용한다.
• 하나의 함수에 대해 $\frac{z D_{p,q}f(z)}{f(z)} \prec \phi(z)$ 와 $1 + \frac{z D_{p,q}^2 f(z)}{D_{p,q}f(z)} \prec \phi(z)$ 를 각각 $(p,q)$-스타라이크 및 $(p,q)$-볼록 함수로 정의한다.
• $(p,q)$-Bernardi 적분 연산자는 단위 원판 $\mathbb{U}$ 내에서 해석성을 유지하는 선형 적분 변환으로서 도입된다.
• 부등식의 유도는 포함관계와 계수 비교 기법을 사용하며, $[n]_{p,q} = \frac{p^n - q^n}{p - q}$ 를 통해 표현된 경계를 포함한다.
• 주요 부등식은 생성 함수 $\phi(z) = 1 + b_1 z + b_2 z^2 + \cdots$ 에서 유도된 $L_2$, $L_3$, $b_1$, $b_2$ 등의 매개변수를 사용하여, $\mu$ 의 다양한 범위에서 $|a_3 - \mu a_2^2|$ 의 분석을 통해 도출된다.
• 특수한 경우가 $p \to 1^-$ 및 $q \to 1^-$ 일 때 기존의 $q$-해석과 고전적 Fekete-Szeg"o 부등식으로 수렴함을 보여 결과의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 스타라이크 및 볼록성 개념은 어떻게 $(p,q)$-미분 연산자를 사용하여 일반화될 수 있는가?
• RQ2 신규로 정의된 $(p,q)$-스타라이크 및 $(p,q)$-볼록 함수에 대한 정밀한 Fekete-Szeg"o 부등식은 무엇인가?
• RQ3 $(p,q)$-Bernardi 적분 연산자는 이러한 일반화된 클래스의 계수 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 부등식의 극한 행동은 $p \to 1^-$ 및 $q \to 1^-$ 일 때 어떻게 되며, 고전적 결과로 복원되는가?
• RQ5 결과는 특정 해석적 함수의 부분클래스에 대해 새로운 계수 추정을 도출하는 데 응용될 수 있는가?

주요 결과

• $(p,q)$-스타라이크 함수에 대한 Fekete-Szeg"o 부등식은 $\mu$ 에 따라 세 가지 경우로 나뉘며, $[2]_{p,q}$, $[3]_{p,q}$, $L_2$, $L_3$, $b_1$, $b_2$ 를 포함한 경계를 가지며, $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ 는 임계 임계값을 정의한다.
• $\mu \leq \sigma_1$ 인 경우, 경계는 $|a_3 - \mu a_2^2| \leq \frac{b_2}{[3]_{p,q}-1} + \frac{b_1^2}{[2]_{p,q}-1}\left(\frac{1}{[3]_{p,q}-1} - \frac{\mu}{[2]_{p,q}-1}\right)$ 이다.
• $\sigma_1 \leq \mu \leq \sigma_2$ 인 경우, 경계는 $|a_3 - \mu a_2^2| \leq \frac{b_1}{[3]_{p,q}-1}$ 으로 단순화된다.
• $\mu \geq \sigma_2$ 인 경우, 경계는 $|a_3 - \mu a_2^2| \leq -\frac{b_2}{[3]_{p,q}-1} - \frac{b_1^2}{[2]_{p,q}-1}\left(\frac{1}{[3]_{p,q}-1} - \frac{\mu}{[2]_{p,q}-1}\right)$ 로 변한다.
• $\sigma_1 < \mu \leq \sigma_3$ 인 경우, $|a_2|^2$ 를 포함하는 개선된 부등식이 도출되며, 절대값의 합과 보정 항이 $\frac{b_1}{[3]_{p,q}L_3 - 1}$ 이하로 제한됨을 보여준다.
• $(p,q)$-볼록 함수의 경우, $\rho_1$, $\rho_2$, $\rho_3$ 에 따라 경계가 결정되는 Fekete-Szeg"o 부등식이 수립되며, $\rho_1 < \mu \leq \rho_3$ 또는 $\rho_3 \leq \mu < \rho_2$ 인 경우 $|a_2|^2$ 에 대한 유사한 보정 항이 포함된다.