[논문 리뷰] Fermionization in an Arbitrary Number of Dimensions

N. S. Mankoč Borštnik, H.B. Nielsen|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 임의의 시공간 차원에서 페르미온화 절차를 제안하며, 자유 질량이 없는 페르미온이 $2^{d/2-1}$개의 가족을 가지는 경우, 운동량과 에너지 스펙트럼 측면에서 칼브-람론 텐서 장과 정확히 동일하다는 것을 보여준다. 이 대응은 자비에 삼중곱 항등식을 통해 확립되며, 아라타인-니엘센 정리에 의해 자유도가 일치하고, 약한 중력 배경으로까지 확장되어 표준모델을 초월한 보존화의 보편적 프레임워크를 시사한다.

ABSTRACT

One purpose of this proceedings-contribution is to show that at least for free massless particles it is possible to construct an explicit boson theory which is exactly equivalent in terms of momenta and energy to a fermion theory. The fermions come as $2^{d/2-1}$ families and the to this whole system of fermions corresponding bosons come as a whole series of the Kalb-Ramond fields, one set of components for each number of indexes on the tensor fields. Since Kalb-Ramond fields naturally (only) couple to the extended objects or branes, we suspect that inclusion of interaction into such for a bosonization prepared system - except for the lowest dimensions - without including branes or something like that is not likely to be possible. The need for the families is easily seen just by using the theorem long ago put forward by Aratyn and one of us (H.B.F.N.), which says that to have the statistical mechanics of the fermion system and the boson system to match one needs to have the number of the field components in the ratio $\frac{2^{d-1}-1}{2^{d-1}}= \frac{\# bosons}{\# fermions}$, enforcing that the number of fermion components must be a multiple of $2^{d-1}$, where $d$ is the space-time dimension. This "explanation" of the number of dimension is potentially useful for the explanation for the number of dimension put forward by one of us (S.N.M.B.) since long in the spin-charge-family theory, and leads like the latter to typically (a multiple of) $4$ families. And this is the second purpose for our work on the fermionization in an arbitrary number of dimensions - namely to learn how "natural" is the inclusion of the families in the way the spin-charge-family theory does.

연구 동기 및 목표

• 임의의 시공간 차원 $d$에서 자유 질량이 없는 입자에 대해 엄밀한 보존화/페르미온화 대응을 수립하는 것.
• 페르미온 이론에서 가족 다중성의 기원을 아라타인-니엘센 정리와 수론적 항등식을 통해 설명하는 것.
• 이러한 이중성 관계가 약한 중력 배경으로까지 확장될 수 있는지 탐색하는 것.
• 스핀-전하-가족 이론이 4개(또는 다수의) 페르미온 가족을 예측하는 것이 자연스러운지, 이러한 이중성 관계를 통해 평가하는 것.
• 칼브-람론 장이 확장된 물체(브레인)와 결합하므로, 높은 차원에서 페르미온계의 자연스러운 보스온 이중체임을 보여주는 것.

제안 방법

• 페르미온 상태의 생성 함수(서로 다른 분할)와 보스온 상태의 생성 함수(홀수 분할)를 동일시하기 위해 자비 삼중곱 공식을 사용하여 상태 수가 일치하도록 보장하는 것.
• 페르미온 자유도를 무한곱 $\prod_{k=1}^\infty (1 + x^k)$로 매핑하여 서로 다른 부분 분할을 표현하고, 보스온 자유도를 $\prod_{m=1,3,5,...} \frac{1}{1 - x^m}$로 매핑하여 홀수 부분 분할을 표현하는 것.
• 1차원 항등식을 토러스 위의 운동량 상태에 대해 주기적 또는 반주기적 경계 조건을 적용하여 다중색인 곱으로 $d_{\text{space}}$ 차원으로 확장하는 것.
• 복소 평면에서 0을 둘러싼 정수 위상 수(위상 수)를 통해 단일 입자 상태를 분류하고, 작은 변형에 대해 보존되는 것.
• 질량이 없는 극한에서 척도 불변성을 적용하여, 조건부로 운동량 스케일링이 이루어져도 대응이 유지되도록 하는 것, 특히 약한 중력 배경에서도 성립함.
• 에너지-운동량 텐서 $T_{\mu\nu}$를 사용하여 중력은 대응하는 페르미온 및 보스온 구성에 대해 동일하게 작용하며, 동역학이 유지된다는 것을 주장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 시공간 차원에서 자유 질량이 없는 페르미온의 운동량 및 에너지 스펙트럼을 정확히 일치시키는 페르미온화 절차를 구성할 수 있는가?
• RQ2 스핀-전하-가족 이론에서 페르미온 가족 수가 자연스럽게 4의 배수로 나타나는 이유는 무엇이며, 이는 보존화 이중성으로 설명될 수 있는가?
• RQ3 약한 중력 배경장이 존재하는 조건에서도 페르미온 및 보스온 자유도 간의 대응이 유지되는가?
• RQ4 확장된 물체와 결합하는 칼브-람론 장이 고차원에서 페르미온계의 자연스러운 보스온 이중체로 기능할 수 있는가?
• RQ5 페르미온과 보스온 자유도를 연결하는 아라타인-니엘센 정리가 천연계에서 관측된 가족 다중성의 더 깊은 설명을 제공하는가?

주요 결과

• 보스온 자유도와 일치시키기 위해 페르미온 성분 수는 $2^{d-1}$의 배수여야 하며, 이는 $d$차원 시공간에서 최소 $2^{d/2-1}$개의 페르미온 가족이 존재하도록 강제한다.
• d=4인 경우, $2^{4/2 - 1} = 2^1 = 2$개의 가족이 도출되지만, 전체 시스템은 $2^{d/2-1}$개의 가족을 필요로 하므로 자연스럽게 4개 이상의 가족이 존재함을 설명할 수 있다.
• 자비 삼중곱 항등식은 서로 다른 부분 분할(페르미온)의 수와 홀수 부분 분할(보스온)의 수가 동일하다는 것을 보장하여 상태 수 측면에서 이중성을 확립한다.
• 질량이 없는 극한에서 척도 불변성이 유지되어 운동량 고유상태를 스케일링해도 이중성이 유지된다.
• 이 절차는 중력을 배경장으로 간주할 경우, 에너지-운동량 텐서를 통해 대응하는 페르미온 및 보스온 구성에 대해 중력의 작용이 동일하게 유지되어 동역학이 보존된다는 것을 시사한다.
• 이 방법은 중력장이 너무 강하지 않은 한, 중력 존재 하에서의 페르미온화가 가능하다는 것을 암시하며, 위상 수(위상 수)가 작은 변형에 대해 불변이기 때문이다.