[논문 리뷰] Fibered commensurability and arithmeticity of random mapping tori

Hidetoshi Masai|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한형 표면의 매핑 클래스 군 위에서의 무작위 보행에 대해, 그의 섬유화된 동치류 내에서 최소가 아닌 매핑 클래스를 생성할 확률이 지수적으로 감소함을 증명한다. 그 결과로, 무작위 보행 측도에 대한 온건한 조건 하에서, 매핑 토러스를 통해 삼차원 hyperbolic 3-다양체를 만드는 매핑 클래스의 집합은 산술적일 경우 지수적으로 작고, 비대칭일 경우 지수적으로 크다.

ABSTRACT

We consider a random walk on the mapping class group of a surface of finite type. We assume that the random walk is determined by a probability measure whose support is finite and generates a non-elementary subgroup $H$. We further assume that $H$ is not consisting only of lifts with respect to any one covering. Then we prove that the probability that such a random walk gives a non-minimal mapping class in its fibered commensurability class decays exponentially. As an application of the minimality, we prove that for the case where a surface has at least one puncture, the probability that a random walk gives mapping classes with arithmetic mapping tori decays exponentially. We also prove that a random walk gives rise to asymmetric mapping tori with exponentially high probability for closed case.

연구 동기 및 목표

• 매핑 클래스 군 위에서의 무작위 보행 하에, 섬유화된 동치류 내의 최소 원소들의 집합이 지수적으로 크다는 것을 증명하기.
• 구멍이 있는 표면에 대해, 산술적 매핑 토러스를 생성할 확률이 지수적으로 감소함을 보여주기.
• 폐쇄된 표면에 대해, 비대칭 매핑 토러스를 생성할 확률이 지수적으로 높다는 것을 확립하기.
• 기하군론과 무작위 보행 기법을 통해, 무작위 편의아노소프 원소에 대한 결과들을 섬유화된 동치와 산술성으로 확장하기.

제안 방법

• 유한하고 비원소적이며, 리프팅을 지지하지 않는 측도 $\mu$를 갖는 매핑 클래스 군 $\mathrm{Mod}(S)$ 위에서의 무작위 보행을 사용하기.
• 곡선 복합체에서의 이동 길이의 성장 추정을 통해, 원시 원소들의 집합이 지수적으로 크다는 것을 증명하기.
• 모든 유한 커버링에 대해 리프팅 가능한 원소들인 대칭 원소들의 집합이 고정점 분석을 통해 지수적으로 희박하다는 것을 확립하기.
• 섬유화된 동치류 내에서 최소 원소가 유일함을 응용하여, 산술성 문제를 최소 원소의 동치류로 환원하기.
• Bowditch-Maclachlan-Reid의 유한 동치류를 갖는 산술 다양체에 관한 결과를 활용하여, 산술 토러스를 유도하는 최소 원소의 수를 유계화하기.
• Bachman-Schleimer의 정리(폐쇄된 hyperbolic 3-다양체의 등장사상군에 관한 것)를 활용하여, 폐쇄된 표면에 대해 비대칭 매핑 토러스가 지수적으로 발생할 가능성이 높다는 것을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 매핑 클래스가 그의 섬유화된 동치류 내에서 최소일 확률의 渐近적 비율은 얼마인가?
• RQ2 표면에 적어도 하나의 구멍이 있을 경우, 무작위 매핑 클래스들 중에서 산술적 매핑 토러스를 유도하는 것은 얼마나 흔한가?
• RQ3 폐쇄된 표면의 무작위 매핑 토러스가 비대칭일 확률은 얼마인가?
• RQ4 무작위 보행 측도에 어떤 조건이 성립할 경우, 무작위 매핑 클래스의 최소성 확률이 지수적으로 높아지는가?
• RQ5 무작위 매핑 클래스의 섬유화된 동치류는 관련된 편의아노소프 원소의 기하학적 및 동역학적 성질을 통해 특징지어질 수 있는가?

주요 결과

• 조건 1.2를 만족하는 임의의 측도 $\mu$에 대해, 매핑 클래스 군 내 원시 원소들의 집합은 지수적으로 크다.
• 동일한 측도 하에서, 모든 유한 커버링에 대해 리프팅 가능한 원소들인 대칭 원소들의 집합은 지수적으로 작다.
• 원시성과 비대칭성의 결과로, 그들의 섬유화된 동치류 내 최소 원소들의 집합은 지수적으로 크다.
• 적어도 하나의 구멍이 있는 표면에 대해, 산술 매핑 토러스를 유도하는 매핑 클래스들의 집합은 지수적으로 작다.
• 폐쇄된 표면에 대해, 비대칭 매핑 토러스를 유도하는 매핑 클래스들의 집합은 지수적으로 크다.
• 산술 매핑 토러스를 유도하는 최소 원소들의 동치류의 수는 유한하며, 이는 이러한 원소들의 이동 길이에 대해 통일된 상한이 존재함을 의미한다.