[논문 리뷰] Fibrations of predicates and bicategories of relations

Finn Lawler|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 38인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정규 근거 이론의 2-category와 정규 장비 이론의 2-category 사이의 등가성을 확립한다—즉, 정규 논리의 특성을 모델링하는 충족 조건을 만족하는 카르테시안 장비를 정의한다. 이는 프로파르티의 트리카테고리 위에서 구축되며, 장비를 이 트리카테고리 내의 페시브-모나드로 정의하고, 근거 이론의 압축이 장비 이론의 탭류에 대응됨을 보여주며, 코모나드의 아이レン버그–무어 객체가 탭류를 특성화함을 밝힌다.

ABSTRACT

We reconcile the two different category-theoretic semantics of regular theories in predicate logic. A 2-category of `regular fibrations' is constructed, as well as a 2-category of `regular proarrow equipments', and it is shown that the two are equivalent. A regular equipment is a `cartesian equipment' satisfying certain axioms, and a cartesian equipment is a slight generalization of a cartesian bicategory. This is done by defining a tricategory Biprof whose objects are bicategories and whose morphisms are category-valued profunctors, and then defining an equipment to be a pseudo-monad in this tricategory. The resulting notion of equipment is compared to several existing ones. Most importantly, this involves showing that every pseudo-monad in Biprof has a Kleisli object. A strict 2-category of equipments, over locally discrete base bicategories, is identified, and cartesian equipments are defined to be the cartesian objects in this 2-category. Thus cartesian equipments themselves form a 2-category, and this is shown to admit a 2-fully-faithful functor from the 2-category of regular fibrations. The cartesian equipments in the image of this functor are characterized as those satisfying certain axioms, and hence a 2-category of `regular equipments' is identified that is equivalent to that of regular fibrations. It is then shown that a regular fibration admits comprehension for predicates if and only if its corresponding regular equipment admits tabulation for morphisms, and further that the presence of tabulations for morphisms is equivalent to the existence of Eilenberg--Moore objects for co-monads. We conclude with a brief examination of the two different constructions of the effective topos, via triposes and via assemblies, in the light of the foregoing.

연구 동기 및 목표

• 정규 논리를 위한 두 가지 범주론적 의미론—근거 이론과 관계의 이중범주—을 조율하기 위해.
• 정규 근거 이론의 2-category와 정규 장비 이론의 2-category를 구성하고, 이들이 등가임을 보여주기 위해.
• 정규 근거 이론으로부터 압축과 탭류를 통해 정규 장비가 언제 유도되는지 특성화하기 위해.
• 정규 장비에서의 탭류가 코모나드에 대한 아이렌버그–무어 객체와 어떻게 관련되는지 보여주기 위해.
• 이론적 근거 이론의 등가 위상 구축을, 트리포시스와 어셈블리의 관점에서 이 근거 이론-장비 등가성에 기반해 분석하기 위해.

제안 방법

• 이중범주와 프로파르티의 트리카테고리 2-Prof를 기초 틀로 사용한다.
• 장비를 2-Prof 내의 페시브-모나드로 정의하여, 카르테시안 이중범주를 일반화한다.
• 국소적으로 이산적인 기저 이중범주 위의 장비의 엄격한 2-category를 구성한다.
• 이 2-category 내에서 카르테시안 장비를 카르테시안 객체로 식별한다.
• 2-Prof 내의 모든 페시브-모나드가 클라이슬리 객체를 갖는 것을 보이며, 이는 장비의 클라이슬리 범주를 구성할 수 있음을 보장한다.
• 정규 근거 이론에서 카르테시안 장비로의 2-충실한 함자 수립을 통해 그 상층부를 충족 조건으로 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 논리는 어떻게 근거 이론과 관계의 이중범주를 통해 통일적으로 모델링될 수 있는가?
• RQ2 정규 논리의 맥락에서 근거 이론과 관계의 이중범주를 통합하는 정확한 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 압축과 탭류를 통해 정규 근거 이론이 정규 장비로 대응되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 코모나드에 대한 아이렌버그–무어 객체는 카르테시안 장비의 탭류와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 트리포시스와 어셈블리의 관점에서 이루어지는 효과적 위상의 두 가지 구성 방식이 이 근거 이론-장비 등가성에 의해 어떻게 비교될 수 있는가?

주요 결과

• 정규 근거 이론의 2-category는 정규 장비 이론의 2-category와 등가이다.
• 정규 근거 이론에서 술어에 대한 압축은 해당 정규 장비의 사상에 대한 탭류와 정확히 일치한다.
• 카르테시안 장비에서의 사상에 대한 탭류는 코모나드에 대한 아이렌버그–무어 객체의 존재와 동치이다.
• 2-Prof 내의 모든 페시브-모나드가 클라이슬리 객체를 갖는다는 것은, 임의의 장비에 대해 잘 정의된 클라이슬리 2-범주가 존재함을 보장한다.
• 근거 이론과 S(C)-강화 범주 간의 등가성은 강화 맥락에서 정규 구조를 해석하는 일반적 프레임워크를 제안한다.
• 결과는 트리포시스와 어셈블리에서의 실현 가능성 구성 방식을 근거 이론-장비 이중성에 기반해 비교할 수 있는 구조적 기반을 제공한다.