[논문 리뷰] Fighting fish and two-stack sortable permutations

Wenjie Fang|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 15.

Biochemical and Structural Characterization참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 싸움 물고기와 이중 스택으로 정렬 가능한 순열 사이의 재귀적 일대일 대응을 수립하여, 이러한 객체들의 등수 동일성에 대한 첫 번째 조합적 해석을 제공한다. 이 일대일 대응은 상승, 하강, 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값, 스택 정렬 이미지에서 자신의 직전 원소보다 앞서는 원소 등의 주요 통계량을 유지하며, 이전에 생성 함수를 사용하여 유도된 정밀한 수세기 결과에 대한 이분적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

In 2017, Duchi, Guerrini, Rinaldi and Schaeffer proposed a new family of combinatorial objects called "fighting fish", which are counted by the same formula as more classical objects, such as two-stack sortable permutations and non-separable planar maps. In this article, we explore the bijective aspect of fighting fish by establishing a bijection to two-stack sortable permutations, using a new recursive decomposition of these permutations. With our bijection, we give combinatorial explanations of several results on fighting fish proved previously with generating functions. Using the decomposition of two-stack sortable permutations, we also prove the algebraicity of their generating function, extending a result of Bousquet-Mélou (1998).

연구 동기 및 목표

• 싸움 물고기와 이중 스택으로 정렬 가능한 순열의 등수 동일성에 대한 조합적 해석을 제공하는 것. 이는 이전에 생성 함수를 통해만 증명된 바 있다.
• Duchi 등(2017b)에서 제기한, 싸움 물고기와 왼쪽 삼진수 트리 사이의 정밀한 일대일 대응에 대한 열린 추측을 해결하기 위해, 이중 스택으로 정렬 가능한 순열과의 기본 일대일 대응을 수립하는 것.
• 싸움 물고기의 알려진 재귀적 구조를 반영하는 방식으로, 이중 스택으로 정렬 가능한 순열의 재귀적 분해를 제공함으로써 직접적인 이분적 구성이 가능하게 하는 것.
• 이전 연구에서 사용된 것보다 더 단순한 함수 방정식을 사용하여, 이중 스택으로 정렬 가능한 순열의 정밀한 생성 함수의 대수성을 증명하는 것.
• 비분리 가능한 평면 맵과 일반화된 탐라리 간격과 같은 동일한 공식으로 세어지는 다른 조합적 객체들과의 네트워크 내에서 싸움 물고기를 명시적인 일대일 대응을 통해 통합하는 것.

제안 방법

• 최댓값의 위치와 스택 정렬 과정의 구조에 기반한, 이중 스택으로 정렬 가능한 순열에 대한 새로운 재귀적 분해를 도입한다.
• 이 분해가 Duchi 등(2017b)에서 정의한 싸움 물고기의 재귀적 분해와 동형임을 보여주어, 재귀적 일대일 대응 φ를 수립한다.
• 이 방법은 이중 스택으로 정렬 가능한 순열의 왼쪽 및 오른쪽 서브트리들을 싸움 물고기의 왼쪽 및 오른쪽 구성요소로 재귀적으로 매핑함으로써, 일대일 대응 φ를 구성한다.
• 기호 조합학과 함수 방정식을 사용하여, 왼쪽/오른쪽 하단 자유 간선 수, 핀 길이, 스택 이미지에서 자신의 직전 원소보다 앞서는 원소 수와 같은 다중 통계량을 코딩하는 생성 함수 T(t,x,u,v;p,q,s)를 모델링한다.
• 특수화된 급수 T_abc를 포함하는 방정식 시스템을 통해 생성 함수가 대수적임을 증명하며, 핵심 단계로 T_011에 대한 이차 방정식의 해를 구한다.
• 이전의 Bousquet-Mélou(1998)에 비해 복잡한 생성 함수 변환을 피하기 위해 최소한의 방정식 집합과 이차 방법을 사용하여, 대수성 증명을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 싸움 물고기와 이중 스택으로 정렬 가능한 순열 사이에, 상승, 하강, 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값, 스택 이미지에서 자신의 직전 원소보다 앞서는 원소 등의 주요 조합 통계량을 유지하는 이분적 대응을 수립할 수 있는가?
• RQ2 이중 스택으로 정렬 가능한 순열의 생성 함수에 다중 통계량을 부여한 경우, 이는 대수적일까? 이는 이전에 알려진 것보다 더 단순한 함수 방정식으로 증명될 수 있는가?
• RQ3 이중 스택으로 정렬 가능한 순열의 재귀적 구조는 싸움 물고기의 재귀적 분해를 반영하는 분해를 허용하는가? 이를 통해 직접적인 일대일 대응이 가능해지는가?
• RQ4 이전에 생성 함수를 통해 증명된 싸움 물고기와 왼쪽 삼진수 트리 사이의 정밀한 등수 동일성 결과를, 이 일대일 대응을 통해 조합적 해석으로 재해석할 수 있는가?
• RQ5 이 일대일 대응을 기존의 일대일 대응과 조합하거나 확장하여, 비분리 가능한 평면 맵이나 일반화된 탐라리 간격과 같은 관련 객체들의 더 깊은 구조적 성질을 연구할 수 있는가?

주요 결과

• 이중 스택으로 정렬 가능한 순열과 싸움 물고기 사이에 재귀적 일대일 대응 φ가 수립되었으며, 이는 왼쪽 및 오른쪽 하단 자유 간선 수, 핀 길이, 스택 이미지에서 자신의 직전 원소보다 앞서는 원소의 수를 유지한다.
• n+1개의 하단 자유 간선을 가진 싸움 물고기의 수는 공식 2/(n+1)(3n+1) * C(3n+1,n)로 주어지며, 이는 길이 n인 이중 스택으로 정렬 가능한 순열의 수와 일치한다.
• 다중 통계량을 코딩하는 생성 함수 T(t,x,u,v;p,q,s)는 새로운 재귀적 분해로부터 유도된 방정식 시스템을 통해 대수적임이 증명되었다.
• 생성 함수의 함수 방정식은 Bousquet-Mélou(1998)의 것보다 더 단순하며, 분할 차분 항이 오직 하나뿐이므로 대수성 증명이 더 직접적이다.
• 이 일대일 대응은 맵 이중성에 의해 비분리 가능한 평면 맵의 정점과 면 사이의 대칭성에 대한 조합적 해석을 제공하며, 통계량을 일대일 대응을 통해 전달함으로써 이를 실현한다.
• 이 방법은 싸움 물고기를 비분리 가능한 평면 맵과 왼쪽 삼진수 트리 등과 같은 동일한 공식으로 세어지는 기존의 조합적 객체 네트워크의 일부로 명시적이고 체계적인 일대일 대응을 통해 통합한다.