[논문 리뷰] Fighting Fish: enumerative properties

Enrica Duchi, Veronica Guerrini외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 45도 회전된 단위 정사각형들이 접합된 조합 구조인 전투 물고기의 새로운 분해를 제안하고, 왼쪽 아래 자유 모서리가 i개, 오른쪽 아래 자유 모서리가 j개인 전투 물고기의 수에 대한 정확한 공식을 수립한다. 핵심 결과는 다른 조합 구조(예: 루트가 있는 비분리 맵, 두 스택으로 정렬 가능한 순열 등)에서 알려진 수와 일치하는 닫힌 형태의 표현식을 제공하지만, 명시적인 이분형 사상은 아직 확보되지 않았다.

ABSTRACT

Fighting fish were very recently introduced by the authors as combinatorial structures made of square tiles that form two dimensional branching surfaces. A main feature of these fighting fish is that the area of uniform random fish of size $n$ scales like $n^{5/4}$ as opposed to the typical $n^{3/2}$ area behavior of the staircase or direct convex polyominoes that they generalize. In this extended abstract we concentrate on enumerative properties of fighting fish: in particular we provide a new decomposition and we show that the number of fighting fish with $i$ left lower free edges and $j$ right lower free edges is equal to \begin{equation*} \frac{(2i+j-2)!(2j+i-2)!}{i!j!(2i-1)!(2j-1)!}. \end{equation*} These numbers are known to count rooted planar non-separable maps with $i+1$ vertices and $j+1$ faces, or two-stack-sortable permutations with respect to ascending and descending runs, or left ternary trees with respect to vertices with even and odd abscissa. However we have been unable until now to provide any explicit bijection between our fish and such structures. Instead we provide new refined generating series for left ternary trees to prove further equidistribution results.

연구 동기 및 목표

• 전술적인 다각형을 일반화하는 새로운 2차원 조합 구조인 전투 물고기의 수를 세는 성질을 탐구한다.
• wasps-waist 접근법을 확장하여 구조적 매개변수로 물고기를 분석할 수 있는 정교한 분해 방법을 개발한다.
• 왼쪽 및 오른쪽 아래 자유 모서리 수, 꼬리 수, 꼬리 길이에 따라 전투 물고기의 수에 대한 정확한 공식을 수립한다.
• 전투 물고기와 루트가 있는 비분리 맵, 두 스택으로 정렬 가능한 순열 등의 다른 조합 구조 간 깊은 연결 고리를 조사한다.
• 크기, 꼬리 길이, 꼬리 수, 자유 모서리 수 등 여러 매개변수에 대해 전투 물고기와 왼쪽 삼분법 트리 간의 등분포 성질에 대한 추측을 제시하고, 이를 위한 이분형 증명을 모색한다.

제안 방법

• 중앙 구성 요소에서 출발하는 wasp-waist 원리를 기반으로 한 전투 물고기의 새로운 분해를 도입하여, 재귀적 구성이 가능하도록 한다.
• 왼쪽/오른쪽 아래 자유 모서리 수, 꼬리 길이, 꼬리 수 등의 매개변수를 사용하여 전투 물고기의 정교한 생성 함수를 유도한다.
• T(u), B(u), X와 같은 시리즈를 포함하는 대수적 시스템을 사용하여 생성 함수를 매개변수화하며, 삼분법 트리의 알려진 생성 함수와 연결한다.
• 함수 방정식과 시리즈 항등식을 사용하여, 핵심 크기 k와 노드의 x좌표의 기수성에 대해 왼쪽 삼분법 트리의 생성 함수가 전투 물고기의 것과 일치함을 증명한다.
• Di Francesco와 Kuba의 j-양성 트리 및 생성 함수에 관한 기존 결과를 활용하여 명시적 표현식을 도출한다.
• 생성 함수의 일관성을 검증하기 위해 함수 방정식과 멱급수 전개의 계수 일치 여부를 점검한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왼쪽 아래 자유 모서리가 i개, 오른쪽 아래 자유 모서리가 j개인 전투 물고기의 정확한 수는 얼마인가?
• RQ2 전투 물고기의 생성 함수는 왼쪽 삼분법 트리 및 루트가 있는 비분리 맵의 것과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 전투 물고기와 왼쪽 삼분법 트리 간의 등분포 성질을 명시적인 이분형 사상으로 증명할 수 있는가?
• RQ4 꼬리 길이와 꼬리 수는 전투 물고기의 정교한 수를 세는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 크기, 꼬리 길이, 꼬리 수, x좌표 기수성 등 여러 요소를 동시에 고려할 수 있는 전투 물고기와 왼쪽 삼분법 트리의 공통 일반화 공식이 존재하는가?

주요 결과

• 왼쪽 아래 자유 모서리가 i개, 오른쪽 아래 자유 모서리가 j개인 전투 물고기의 수는 정확히 (2i+j−2)!(2j+i−2)! / (i!j!(2i−1)!(2j−1)!)이며, 이는 루트가 있는 비분리 맵과 두 스택으로 정렬 가능한 순열에서 알려진 수와 일치한다.
• 전투 물고기의 크기와 꼬리 길이에 대한 생성 함수는 왼쪽 삼분법 트리의 핵심 크기와 노드의 x좌표 기수성에 대한 생성 함수와 일치함이 입증되었다.
• 보조정리 3은 직접적인 등분포 성질을 수립한다: n개의 정점과 k개의 핵심 노드를 가진 왼쪽 삼분법 트리의 수는 크기가 n이고 꼬리 길이가 k인 전투 물고기의 수와 같다.
• 논문은 j-양성 트리에 관한 기존 결과를 일반화하는 T_j(u)의 생성 함수에 대한 함수 방정식 시스템을 제시하며, 조합 모델과의 일관성을 확인한다.
• 전투 물고기의 전체 연합 분포(크기, 꼬리 길이, 꼬리 수, 왼쪽/오른쪽 자유 모서리 수)가 핵심 크기, 오른쪽 분지 수, x좌표 기수성에 대해 왼쪽 삼분법 트리와 일치한다는 추측을 제기한다.
• 생성 함수와 등분포 성질에 대한 강력한 증거가 존재하지만, 아직 전투 물고기와 해당 조합 구조 간의 명시적 이분형 사상은 구성되지 않았다.