[논문 리뷰] Financial markets with volatility uncertainty

Joerg Vorbrink|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 G-기대와 G-브라운 운동을 사용하여 변동성 불확실성 하에서 금융 시장 모델을 개발하며, 불완전 시장에서 유럽_CONTINGENT_CLAIMS의 가격 설정과 헤지에 수학적으로 일관된 프레임워크를 제공한다. 주요 기여는 주장에 대한 무위험 가격 범위를 유도하는 것으로, 마코프 설정에서는 명시적인 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We investigate financial markets under model risk caused by uncertain volatilities. For this purpose we consider a financial market that features volatility uncertainty. To have a mathematical consistent framework we use the notion of G-expectation and its corresponding G-Brownian motion recently introduced by Peng (2007). Our financial market consists of a riskless asset and a risky stock with price process modeled by a geometric G-Brownian motion. We adapt the notion of arbitrage to this more complex situation and consider stock price dynamics which exclude arbitrage opportunities. Due to volatility uncertainty the market is not complete any more. We establish the interval of no-arbitrage prices for general European contingent claims and deduce explicit results in a Markovian setting.

연구 동기 및 목표

• 변동성이 정확히 알려져 있지 않지만 유한한 구간 내에 존재하는 변동성 불확실성 하에서 금융 시장을 모델링하기 위해.
• 변동성 모호성으로 인한 모델 리스크를 다루기 위해 G-기대와 G-브라운 운동을 사용한 수학적으로 일관된 프레임워크를 개발하기 위해.
• 변동성 불확실성이 존재하는 시장에서 아웃리치 개념을 적응하고, 무위험 조건이 유지되도록 하기 위해.
• 이 프레임워크 하에서 일반적인 유럽 CONTINGENT_CLAIMS에 대한 무위험 가격의 구간을 결정하기 위해.
• 마코프 설정에서 명시적인 가격 설정 공식을 유도하여 실용적인 계산과 헤지 전략을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• Peng(2007)가 도입한 G-기대와 G-브라운 운동을 사용하여 변동성 불확실성을 모델링하며, 이는 과정의 이차변화량이 구간 $[\underline{\sigma}^2, \overline{\sigma}^2]$ 내에 존재함을 의미한다.
• 주식 가격 과정을 기하학적 G-브라운 운동으로 모델링한다: $ dS^\sigma_t = rS^\sigma_t dt + \sigma_t S^\sigma_t dB_t $, 여기서 $ \sigma_t \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}] $.
• 사전 집합 $ \mathcal{P} $ 는 상호 독립적인 측도로 정의되며, 기준 측도에 대해 절대 연속성이 없음을 반영하여, 고전적 다중사전 모델의 기술적 및 경제적 한계를 피한다.
• G-이토 미적분을 적용하여 확률적 적분과 이차변화 과정을 정의하며, G-기대 하에서 $ \langle B \rangle_t $ 는 $ N([\underline{\sigma}^2 t, \overline{\sigma}^2 t] \times \{0\}) $-분포를 가진다.
• G-기대 하에서의 마틴게일 표현 정리 적용: 임의의 G-마틴게일 $ X_t = E_G(\xi | \mathcal{F}_t) $ 는 유일한 분해 $ X_t = X_0 + \int_0^t z_s dB_s - K_t $ 를 갖는다. 여기서 $ -K_t $ 는 G-마틴게일이다.
• G-마틴게일은 조건 $ E_G(M_t | \mathcal{F}_s) = M_s $ 를 통해 특성화되며, $ M_t = x + \int_0^t z_s dB_s + \int_0^t \eta_s d\langle B \rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s) ds $ 는 G-마틴게일임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토크asti크 미적분을 사용하여 변동성 불확실성을 일관되게 모델링할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 모호한 변동성이 존재하는 시장에서 적절한 아웃리치의 개념은 무엇인가?
• RQ3 변동성 불확실성 하에서 유럽 CONTINGENT_CLAIMS의 무위험 가격 범위는 어떻게 도출되는가?
• RQ4 G-기대와 G-브라운 운동은 변동성 모호성을 어떻게 반영하는가?
• RQ5 마틴게일 표현 정리를 G-프레임워크로 확장하여 헤지와 가격 설정을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• G-브라운 운동이 유일한 확률 측도를 생성하지 않기 때문에 변동성 불확실성으로 인해 시장이 불완전해진다.
• 유럽 CONTINGENT_CLAIMS에 대한 무위험 가격의 구간은 $ \sup_{P \in \mathcal{P}} E^P(H_T \gamma_T^{-1}) $ 와 $ \sup_{P \in \mathcal{P}} E^P(-H_T \gamma_T^{-1}) $ 로 주어지며, 이는 최악의 경우와 최선의 경우의 할인된 기대 수익을 반영한다.
• 마코프 설정의 경우, G-기대 프레임워크와 마틴게일 표현 정리를 사용하여 명시적인 가격 설정 공식을 도출할 수 있다.
• 이차변화 과정 $ \langle B \rangle_t $ 는 거의 확실하게 상수값이 아니며, $[\underline{\sigma}^2 t, \overline{\sigma}^2 t]$ 에 분포함으로써 변동성의 불확실성을 반영한다.
• 과정 $ -K_t = \int_0^t \eta_s d\langle B \rangle_s - \int_0^t 2G(\eta_s) ds $ 는 G-마틴게일이며, 이는 이차변화량이 드리프트 보정에 존재하지 않는 비고전적 특성이다.
• G-마틴게일 표현 정리는 임의의 $ \mathcal{F}_t $-측정 가능한 주장 $ \xi $ 가 G-이토 적분과 비감소 보정자 $ K_t $ 로 유일하게 분해될 수 있음을 보장하며, 이는 변동성 모호성 존재 하에서도 헤지를 가능하게 한다.