[논문 리뷰] Finite-dimensional observer-based boundary stabilization of reaction-diffusion equations with a either Dirichlet or Neumann boundary measurement

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 24인용 수 48

한 줄 요약

본 논문은 Dirichlet 또는 Neumann 경계 측정을 사용하는 반응-확산 PDE에 대해 유한차원 관측자 기반 경계 제어를 개발하고, 관측자 차수가 충분히 클 때 H1-안정성을 보장하는 LMI 기반 설계 조건을 제시한다.

ABSTRACT

This paper investigates the output feedback boundary control of reaction-diffusion equations with either distributed or boundary measurement by means of a finite-dimensional observer. A constructive method dealing with the design of finite-dimensional observers for the feedback stabilization of reaction-diffusion equations was reported in a recent paper in the case where either the control or the observation operator is bounded and also satisfies certain regularity assumptions. In this paper, we go beyond by demonstrating that a finite-dimensional state-feedback combined with a finite-dimensional observer can always be successfully designed in order to achieve the Dirichlet boundary stabilization of reaction-diffusion PDEs with a either Dirichlet or Neumann boundary measurement.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 관측자를 이용해 포물형 PDE에서 출력 피드백 경계 안정화를 동기 부여하고 가능하게 한다.
• Dirichlet 또는 Neumann인 경계 측정으로 이전의 유한차원 관측자 설계를 확장한다.
• H1 노름에서 폐루프 안정성을 보장하는 구성 가능한 LMI 기반 조건을 제공한다.
• 관측 모드를 증가시키고 스케일링 접근법을 사용함으로써 안정성을 달성할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 스펙트럼(모달) 축소를 이용해 PDE를 고유 모드들로 표현한다.
• 처음 N 모드에 대한 유한차원 관측자를 설계하고 처음 N0 모드에 대한 상태 피드백을 적용한다.
• 관찰자–컨트롤러 루프의 지수적 안정성을 인증하기 위해 Lyapunov 기반의 LMIs(Theta1, Theta2)를 형식화한다.
• 측정이 경계 기반일 때 출력의 스케일링을 도입하여 N이 커져도 LMIs의 타당성을 유지한다.
• Dirichlet 제어를 Dirichlet 또는 Neumann 측정과 함께 제공(섹션 3–5)하고 명시된 LMI 조건 아래에서 안정성을 증명한다.
• 경계 제어를 다루고 H1에서 수렴을 보장하기 위해 보조 적분 작용을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 측정을 바탕으로 반응-확산 PDE를 안정화하도록 유한차원 관측자를 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ2 Dirichlet와 Neumann 경계 관찰 모두에 작동하는 통합된 LMI 기반 설계가 개발될 수 있는가?
• RQ3 관측자 차수와 LMIs의 어떤 조건이 H1 노름에서 지수적 안정성을 보장하는가?
• RQ4 관찰 모드의 수가 증가함에 따라 출력의 스케일링이 LMIs의 타당성에 어떤 도움을 주는가?
• RQ5 제안된 설계가 구성적이며 Dirichlet 및 Neumann 관찰 시나리오 모두에 적용 가능한가?

주요 결과

• 경계-안정화된 반응-확산 PDE를 위한 유한차원 관측자를 설계하는 구성적 방법이 제시된다.
• Dirichlet 및 Neumann 관찰에 대해 충분히 큰 관측자 차수 N에서 Theta1 및 Theta2 LMIs 하에 안정성이 보장된다.
• N이 커져도 LMIs의 타당성을 유지하는 스케일링 절차가 있어 많은 모드를 관찰함으로써 안정화를 가능하게 한다.
• 언급된 조건이 성립하면 폐루프 시스템에서 H1 노름의 지수적 안정성이 달성된다.
• 이 접근법은 Dirichlet 및 Neumann 케이스를 포함한 경계 측정의 더 어려운 사례로 기존 결과를 확장한다.