[논문 리뷰] Finite Sample Smeariness of Fréchet Means and Application to Climate

Shayan Hundrieser, Benjamin Eltzner외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 05.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 31인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 원과 토러스와 같은 비유클리드 공간에서 프레셰 표본 평균의 수렴 속도가 비표준이 되는 유한 표본 스메어링(기본적인 수렴 속도보다 느리게 수렴함) 현상인 유한 표본 스메어링(Finite Sample Smeariness, FSS)을 소개한다. 이 현상은 표준 분위수 기반 추론을 무효화하며, 이는 유의수준이 과도하게 상승하는 결과를 초래한다. 저자들은 FSS를 보정하는 부트스트랩 기반 검정을 제안하며, 바젤과 고파르팅엔의 바람 방향 데이터에 적용하여 FSS로 인해 분위수 기반 검정에서 잘못된 유의성이 발생하는 것을 입증한다. 반면 부트스트랩 방법은 명목상의 I형 오류율을 유지하며 유의미한 연도가 몇 개 밖에 되지 않음을 드러낸다.

ABSTRACT

Fréchet means on non-Euclidean spaces may exhibit nonstandard asymptotic rates rendering quantile-based asymptotic inference inapplicable. We show here that this affects, among others, all circular distributions whose support exceeds a half circle. We exhaustively describe this phenomenon and introduce a new concept which we call finite samples smeariness (FSS). In the presence of FSS, it turns out that quantile-based tests for equality of Fréchet means systematically feature effective levels higher than their nominal level which perseveres asymptotically in case of Type I FSS. In contrast, suitable bootstrap-based tests correct for FSS and asymptotically attain the correct level. For illustration of the relevance of FSS in real data, we apply our method to directional wind data from two European cities. It turns out that quantile based tests, not correcting for FSS, find a multitude of significant wind changes. This multitude condenses to a few years featuring significant wind changes, when our bootstrap tests are applied, correcting for FSS.

연구 동기 및 목표

• 비유클리드 다양체인 원과 토러스 위에서의 프레셰 표본 평균에 대한 유한 표본 스메어링(FSS)을 특정하고 특성화하는 것.
• FSS 하에서 표준 분위수 기반 검정이 프레셰 평균의 동일성에 대해 무효화되어 I형 오류율이 과도하게 상승하는 것을 입증하는 것.
• FSS 하에서도 점차적으로 명목상의 유의수준을 유지하는 부트스트랩 기반 추론 방법을 개발하고 검증하는 것.
• 제안된 방법을 바젤과 고파르팅엔의 실제 방향성 바람 데이터에 적용하여 바람 패턴 변화의 기후학적 유의성을 평가하는 것.
• FSS로 인한 잘못된 유의성으로 인해 기존 검정에서 잘못된 결과가 도출된 연도를 정확히 규명하여 진정으로 특별한 해를 밝혀내는 것.

제안 방법

• 표본 평균의 수렴 속도를 인구 평균에 비해 정량화하기 위해 변동성 조절 인자 $\mathfrak{m}_n = \frac{n\mathbb{E}[d(\mu,\widehat{\mu}_n)^2]}{\mathbb{E}[d(\mu,X)^2]}$ 를 정의한다.
• 두 가지 새로운 현상인 제1형 FSS($\lim_{n\to\infty}\mathfrak{m}_n > 1$)와 제2형 FSS($\lim_{n\to\infty}\mathfrak{m}_n = 1$)를 도입하며, 이들 모두에서 모든 $n$ 에 대해 $\mathfrak{m}_n > 1$ 이다.
• 귀무가설 하에서 프레셰 평균을 재표본 추출하는 부트스트랩 기반 두 집단 검정(Test 4.4)을 제안하여 점근적 정규성을 가정하지 않고 표본 분포를 근사한다.
• 부트스트랩 검정을 $\mathbb{T}^2$ 와 $\mathbb{S}^1$ 상의 방향성 바람 데이터에 적용하며, p-값을 추정하기 위해 $B=1000$ 개의 부트스트랩 복제를 사용한다.
• 모든 도시에서 190개의 쌍별 검정에 대해 벤자민-호크베르그 보정을 적용하여 다중 검정에 대한 강인성을 확보한다.
• 분위수 기반 검정(Test 4.1)과 부트스트랩 기반 검정(Test 4.4)의 결과를 비교하여 FSS로 인한 가짜 양성 결과를 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 원 위의 분포가 유한 표본 스메어링(FSS)을 보이며, FSS는 프레셰 표본 평균의 점근적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 FSS는 비유클리드 공간에서 프레셰 평균의 동일성에 대한 표준 분위수 기반 추론을 어느 정도 무효화하는가?
• RQ3 부트스트랩 기반 검정은 FSS를 보정하고 방향성 데이터 분석에서 점차적으로 명목상의 I형 오류율을 유지할 수 있는가?
• RQ4 FSS는 유럽 도시의 실질적인 기후 데이터, 예를 들어 바람 방향 시계열 자료에서 어떻게 나타나는가?
• RQ5 FSS로 인한 가짜 양성 결과를 보정한 후, 어떤 특정 연도가 바람 방향 패턴 변화에서 진정으로 유의미한가?

주요 결과

• 밀도가 어디서도 0이 되지 않는 원 위의 모든 분포—예를 들어 피셔-폰 마이제스 분포와 워프드 가우시안 분포—는 모든 $n$ 에 대해 $\mathfrak{m}_n > 1$ 인 유한 표본 스메어링(FSS)을 보인다.
• FSS 하에서 프레셰 평균의 동일성에 대한 분위수 기반 검정은 체계적으로 과도한 I형 오류율을 보이며, 귀무가설 하에서 $n=10,000$ 에서도 실질적 기각률이 최대 0.876에 이르렀다.
• 부트스트랩 기반 검정(Test 4.4)은 명목상의 5% 유의수준을 유지하며, 모든 표본 크기에서 실질적 기각률이 0.05 근처에 집중되어 있다.
• 바젤과 고파르팅엔의 바람 자료에서 분위수 기반 검정은 100개 이상의 유의미한 쌍별 차이를 식별했지만, 부트스트랩 검정은 오직 네 해(2003, 2005, 2017, 2018)만이 잠재적으로 특별한 해로 나타났다.
• FSS 보정 후 2017년과 2018년은 여전히 두드러진 특별한 해로 남아 있었으며, 이는 지속적인 웨이브-7 바람 패tern과 관련된 알려진 기후학적 폭염과 일치한다.
• 분위수 기반 검정에서 과도하게 유의미하다고 잘못 표시된 2010년은 부트스트랩 검정에서는 더 이상 특별한 해로 나타나지 않아, FSS가 잘못된 결과의 원인임을 확인하였다.