[논문 리뷰] Manifolds of Projective Shapes

Thomas Hotz, Florian Kelma외 1명|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|2016. 02. 13.

Morphological variations and asymmetry참고 문헌 10인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 사영형상공간 내에서 미분 가능하고 하우스도르프인 리만다이프 기하구조를 체계적으로 구성하기 위한 프레임워크를 제안한다. 이는 자유형상 부분공간이 하우스도르프가 아니라는 문제를 해결한다. 사영기저를 가상기저로 일반화하고, 사영부공간 수로 둘러싸인 위상적 부분공간을 도입함으로써, 저자들은 타일러 정규형상이 리만기하학적 표준화를 통해 자연스러운 리만계량을 지닌 최대의 기하학적 동기를 가진 다양체로 식별한다.

ABSTRACT

The projective shape of a configuration of k points or "landmarks" in RP(d) consists of the information that is invariant under projective transformations and hence is reconstructable from uncalibrated camera views. Mathematically, the space of projective shapes for these k landmarks can be described as the quotient space of k copies of RP(d) modulo the action of the projective linear group PGL(d). Using homogeneous coordinates, such configurations can be described as real k-times-(d+1)-dimensional matrices given up to left-multiplication of non-singular diagonal matrices, while the group PGL(d) acts as GL(d+1) from the right. The main purpose of this paper is to give a detailed examination of the topology of projective shape space, and, using matrix notation, it is shown how to derive subsets that are in a certain sense maximal, differentiable Hausdorff manifolds which can be provided with a Riemannian metric. A special subclass of the projective shapes consists of the Tyler regular shapes, for which geometrically motivated pre-shapes can be defined, thus allowing for the construction of a natural Riemannian metric.

연구 동기 및 목표

• 사영형상공간 내에서 리만다이프 기하구조를 체계적으로 구성하는 데에 필요한 방법론의 부재를 해결함으로써, 컴퓨터시각에서 거리기반 형상분석을 위한 기초를 마련한다.
• 자유형상 부분공간(자기동치가 자명한 경우)이 T1 다양체이긴 하지만 하우스도르프가 아니라는 위상적 문제를 해결함으로써, 애핀 또는 유사형상공간과는 대조된다.
• 재배열에 대해 닫혀 있고, 사영부공간 제약의 계층을 존중하며, 최대가 되는, 서로 다른 미분 가능하고 하우스도르프인 다양체인 위상적 부분공간을 식별하고 특성화한다.
• 기하학적 동기를 부여하고 잘 알려진 타일러 정규형상에 대해 리만계량을 제공함으로써, 이는 사영형상의 핵심 부분집합이다.
• 타일러 정규형상에서 리만계량이 완전하고 가능한 한 더 큰 부분공간으로 확장 가능한 조건을 수립한다.

제안 방법

• 자기동치가 없는 상황에서도 국소 차트 구축이 가능하도록, 사영기저를 일반화한 가상기저의 개념을 도입한다.
• 사영부공간 수로 둘러싸인 위상적 부분공간을 정의하며, 이는 최대성과 재배열에 대한 닫힘, 계층 구조 존중 등의 바람직한 성질을 만족한다.
• 구성의 행렬 표현을 $k \times (d+1)$ 실수행렬로, 비특이 대각행렬에 의한 좌측 곱셈에 대해 모듈로 취하고, $\mathrm{GL}(d+1)$의 우측 작용을 사용한다.
• 타일러 표준화를 타일러 정규형상에 적용하여, 그라스만다이프 몫 상에서 대칭 준정부정행렬로 매핑함으로써, 리만계량의 구축을 가능하게 한다.
• 표준 $\mathfrak{so}(k)$ 계량을 이용하여 탄성공간에 제약을 가한 $[\mathcal{P}_P, A] = 0$ 조건을 만족하는 탄성공간으로 제한함으로써, 타일러 정규형상 공간에서 리만계량을 유도한다.
• 리만계량이 완전한 조건과, 분할 가능한 구성에서 비자명한 군 작용이 존재함으로써 확장에 실패하는 조건을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유형상 부분공간이 하우스도르프가 아니므로, 사영형상공간 내에서 미분 가능하고 하우스도르프인 리만다이프 기하구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 기하학적 및 위상적 조건이 사영형상의 위상적 부분공간이 재배열에 대해 닫혀 있고, 부분공간의 계층을 존중하며, 서로 다른 미분 가능하고 하우스도르프인 다양체가 되도록 보장하는가?
• RQ3 타일러 정규형상에서 리만계량을 어떻게 기하학적으로 정당화하고 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ4 타일러 정규형상 공간에서 리만계량을 더 큰 위상적 부분공간으로 확장할 수 있는 조건은 무엇이며, 언제 실패하는가?
• RQ5 사영기저가 존재하지 않을 경우, 가상기저는 자유형상 부분공간에 대한 국소 차트를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 자유형상 부분공간(자기동치가 자명한 경우)은 서로 다른 T1 다양체이지만 하우스도르프가 아니므로, 리만기하학적 구조를 가질 수 없다.
• 가상기저는 사영기저를 일반화하며, 사영기저가 존재하지 않는 상황에서도 자유형상 부분공간에 대한 국소 차트를 구축할 수 있도록 한다.
• 사영부공간 수로 둘러싸인 위상적 부분공간은, 각 사영부공간 내의 지표점 수가 그 부공간 차원보다 한 개 더 작은 경우에만 서로 다른 미분 가능하고 하우스도르프인 다양체가 된다.
• 타일러 정규형상은 재배열에 대해 닫혀 있고, 사영부공간 제약의 계층을 존중하며, 최대의 서로 다른 미분 가능하고 하우스도르프인 다양체를 이룬다.
• 타일러 정규형상에서 리만계량은 표준 $\mathfrak{so}(k)$ 계량을 $\mathcal{P}_P$의 사영행렬과 가환하는 탄성공간에 제한함으로써 도출되며, 타일러 표준화를 통한 기하학적 정당성이 있다.
• 분할 가능한 타일러 표준화가 가능한 형상이 존재할 경우, 타일러 정규형상 공간에서 리만계량은 완전하지 않으며, 비자명한 군 작용에 의한 거리가 0인 특이점으로 인해 더 큰 부분공간으로의 확장이 불가능하다.