[논문 리뷰] Finite-time Singularity Formation for Strong Solutions to the Boussinesq System

Tarek M. Elgindi, In‐Jee Jeong|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 09.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 41인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 2차원 보우시네스크 시스템의 섹터 영역 $\Omega_\gamma$에서 유한 에너지, $C^\infty$-연속 해를 구성하여 유한 시간 내에 특이점을 형성한다. 이는 2차원 오일러 방정식이 여전히 전역적으로 정규화되어 있음에도 불구하고 발생한다. 특이성은 밀도 기울기로 인한 코어시티 증폭에 기인하며, 척도 불변 해와 잘라내기 논증을 통해 유한 에너지를 확보함으로써 가능해진다. 속도 및 밀도 기울기에서 $t \to 1^-$에 가까워질수록 폭발이 발생한다.

ABSTRACT

The global regularity problem for the Boussinesq system is a well known open problem in mathematical fluid dynamics. As a follow up to our work \cite{EJSI}, we give examples of finite-energy and Lipschitz continuous velocity field and density $(u_0,ρ_0)$ which are $C^\infty$-smooth away from the origin and belong to a natural local well-posedness class for the Boussinesq equation whose corresponding local solution becomes singular in finite time. That is, while the sup norm of the gradient of the velocity field and the density remain finite on the time interval $t\in [0,1)$, both quantities become infinite as $t ightarrow 1$. The key is to use scale-invariant solutions similar to those introduced in \cite{EJSI}. The proof consists of three parts: local well-posedness for the Boussinesq equation in critical spaces, the analysis of certain special infinite-energy solutions belonging to those critical spaces, and finally a cut-off argument to ensure finiteness of energy. All of this is done on spatial domains $\{(x_1,x_2): x_1 \ge γ|x_2|\}$ for any $γ> 0$ so that we can get arbitrarily close to the half-space case. We remark that the $2D$ Euler equation is globally well-posed in all of the situations we look at, so that the singularity is not coming from the domain or the lack of smoothness on the data but from the vorticity amplification due to the presence of a density gradient. It is conceivable that our methods can be adapted to produce finite-energy $C^\infty$ solutions on $\mathbb{R}^2_+$ which become singular in finite time.

연구 동기 및 목표

• 유한 에너지와 함께 임계 정규화 클래스에서 강한 해에 대해 2차원 보우시네스크 시스템의 유한 시간 특이성 형성을 입증한다.
• 2차원 오일러 방정식과는 다를 바 있는, 밀도 기울기로 인한 코어시티 증폭에 기인한 특이성 형성 메커니즘을 분리한다.
• 예각을 가진 영역($\gamma > 0$)에서 $C^\infty$-연속, 유한 에너지 초깃값을 구성하여 속도 및 밀도 기울기의 폭발을 일으키는 해를 유한 시간 내에 도출한다.
• 임계 공간으로의 척도 불변 해 방법을 확장하고, 유한 에너지를 유지하면서도 특이성 형성을 유지하기 위해 잘라내기 논증을 사용한다.
• 특이성 형성의 원인이 경계의 비정규성이나 초깃값의 부족한 스무스함이 아니라, 코어시티와 밀도 기울기 간의 비선형 결합에 기인함을 보여준다.

제안 방법

• 모든 $\gamma > 0$에 대해 $\Omega_\gamma = \{(x_1,x_2) : x_1 \geq \gamma |x_2|\}$ 영역에서 2차원 보우시네스크 시스템의 척도 불변 해를 구성한다. 이 해는 차수 1의 동차 함수이다.
• 원점에서 전체 보우시네스크 방정식의 축소된 1차원 시스템을 도출하여 코어시티 $\omega(0)$와 밀도 기울기 $\partial_{x_1}\rho(0), \partial_{x_2}\rho(0)$의 진화를 기록한다.
• 다음과 같은 $A = \omega(0)$, $B = \partial_{x_1}\rho(0)$, $C = \partial_{x_2}\rho(0)$에 대한 상미분방정식 시스템을 유도한다: $A' = C$, $B' = -\frac{1}{1-\beta^2}AC$, $C' = -\frac{\beta^2}{1-\beta^2}AB$, 여기서 $\beta = \gamma^{-1}$이다.
• 특히 $\beta < 1/2$ (즉, $\gamma > 2$)일 경우, $C_0 > 0$이면 $C$와 $A$의 지수적 증가로 인해 시스템이 유한 시간 내에 폭발함을 증명한다.
• 척도 불변 해를 국소화하고 유한 에너지를 확보하면서도 특이성 메커니즘을 유지하기 위해 잘라내기 절차를 적용한다.
• 임계 호일더 공간 $C^{k,\alpha}$에서 국소 적으로 잘 정의된 해를 확립하며, $\alpha < 1/\beta - k - 2$ 조건을 만족함으로써 해가 폭발 시점까지 필요한 정규화 클래스에 머무름을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 보우시네스크 시스템의 유한 에너지, $C^\infty$-연속 해가 2차원 오일러 방정식의 전역 정규화에도 불구하고 유한 시간 내에 특이점을 형성할 수 있는가?
• RQ2 점성 없이도 밀도 기울기가 코어시티 증폭과 특이성 형성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 척도 불변 해를 사용하여 원래 해가 무한 에너지를 가질 경우에도 유한 에너지 해를 구성하고, 이 해가 유한 시간 내에 폭발할 수 있는가?
• RQ4 특이성 형성 메커니즘이 영역 잘라내기 및 잘라내기 조치에 대해 강건한가? 이는 반평면 $\mathbb{R}^2_+$로 확장 가능한가?
• RQ5 특히 섹터의 각도에 따라 영역 기하학이 보우시네스크 시스템에서의 유한 시간 폭발 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 예각을 가진 영역 $\Omega_\gamma$에서 $\gamma > 0$에 대해, 유한 에너지, $C^\infty$-연속 초깃값이 존재하며, 이에 대응하는 2차원 보우시네스크 시스템의 강한 해는 유한 시간 내에 특이성을 띤다.
• 속도 장의 기울기와 밀도 모두 $t \to 1^-$에 가까워질수록 폭발하며, 초깃값은 $W^{1,\infty}$에 속하고 리프시츠 연속성을 유지한다.
• 특이성 형성의 원인은 경계 효과나 초깃값의 스무스함 부족이 아니라, 밀도 기울기로 인한 비선형적 코어시티 증폭에 기인한다.
• $\beta < 1/2$ (즉, $\gamma > 2$)일 경우, 원점에서의 축소된 상미분방정식 시스템은 $\partial_{x_2}\rho_0(0) > 0$이면 유한 시간 내에 폭발을 보이며, $A(t)$와 $C(t)$는 무한히 증가한다.
• 동일한 조건 하에서 2차원 오일러 방정식은 여전히 전역적으로 잘 정의되어 있음을 확인하여, 특이성이 보우시네스크 시스템의 밀도-코어시티 결합에 기인한 것이며 오일러 시스템과는 다름을 입증한다.
• 이 방법은 반평면 $\mathbb{R}^2_+$에서도 마찬가지로 유한 에너지 $C^\infty$ 해가 유한 시간 내에 특이성을 띌 수 있음을 시사하지만, 이는 향후 분석이 필요하다.