[논문 리뷰] Finitely presented residually free groups

Martin R. Bridson, James Howie외 2명|ArXiv.org|2008. 09. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 군의 부분직접곱에 대한 유한 표기 가능성 기준을 수립하고, 임계적 임베딩을 통한 잔여 자유 군의 유한 표기 가능성에 대한 완전한 특성화를 제시한다. 이는 한정된 수의 극한 군 곱에 대한 임베딩을 생성하는 알고리즘을 제시하며, 유한 표기 가능한 부분군에 대한 동치 문제와 멤버십 문제를 해결하고, 이sov머피즘 문제를 유한 계산으로 환원하여, 잔여 자유 군에서 유한 표기 가능성과 FP_n 동치성이 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

We establish a general criterion for the finite presentability of subdirect products of groups and use this to characterize finitely presented residually free groups. We prove that, for all $n\in\mathbb{N}$, a residually free group is of type ${ m{FP}}_n$ if and only if it is of type ${ m{F}}_n$. New families of subdirect products of free groups are constructed, including the first examples of finitely presented subgroups that are neither ${ m{FP}}_\infty$ nor of Stallings-Bieri type. The template for these examples leads to a more constructive characterization of finitely presented residually free groups up to commensurability. We show that the class of finitely presented residually free groups is recursively enumerable and present a reduction of the isomorphism problem. A new algorithm is described which, given a finite presentation of a residually free group, constructs a canonical embedding into a direct product of finitely many limit groups. The (multiple) conjugacy and membership problems for finitely presented subgroups of residually free groups are solved.

연구 동기 및 목표

• 부분직접곱의 유한 표기 가능성에 대한 일반 기준을 수립하기.
• 직접 인자로의 사영을 이용하여 잔여 자유 군의 유한 표기 가능성에 대해 공명성에 대해 특성화하기.
• 모든 유한 표기 가능한 잔여 자유 군이 유한한 직접곱의 극한 군에 대한 임계적 임베딩을 생성하는 알고리즘을 구축하기.
• 잔여 자유 군 내의 유한 표기 가능한 부분군에 대한 동치 문제와 멤버십 문제를 해결하기.
• 유한 표기 가능한 잔여 자유 군 간의 이sov머피즘 문제를 환경 곱의 자기동형군에 대한 유한 검색으로 환원하기.

제안 방법

• 직접 인자로의 사영을 기반으로 한 부분직접곱의 유한 표기 가능성에 대한 일반 기준을 개발하기.
• 극한 군의 구조와 그들의 완전 잔여 자유 성질을 이용하여 잔여 자유 군을 유한한 극한 군 곱에 임베딩하는 임계적 임베딩을 구성하기.
• 조합론적 군론에서의 알고리즘적 기법, 특히 Todd-Coxeter 알고리즘을 활용하여 지표와 부분군 구조를 계산하기.
• 극한 군의 자기동형군에 대한 알려진 알고리즘을 활용하여 이sov머피즘 문제를 유한 계산으로 환원하기.
• 최대한의 극한 군 몫과 아벨화가 비이sov머피즘 군을 구별하는 효과적인 불변량으로 기능한다는 사실을 활용하기.
• 환경 곱의 자기동형군의 유한 생성 집합을 사용하여 이sov머피즘 문제를 자기동형군 작용에 따른 궤도 동치성 확인로 환원하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 극한 군의 부분직접곱이 언제 유한 표기 가능한가?
• RQ2 모든 유한 표기 가능한 잔여 자유 군은 유한한 직접곱의 극한 군에 임계적으로 임베딩될 수 있는가?
• RQ3 잔여 자유 군에서 유한 표기 가능한 군의 클래스와 FP_n 군의 클래스는 동치인가?
• RQ4 잔여 자유 군의 유한 표기 가능한 부분군에 대한 동치 문제와 멤버십 문제는 효과적으로 해결 가능한가?
• RQ5 유한 표기 가능한 잔여 자유 군의 이sov머피즘 문제는 해결 가능하며, 만약 그렇다면 어떻게 환경 곱의 자기동형군에 대한 유한 검색으로 환원할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 표기 가능한 잔여 자유 군은 아벨성과 비아벨성으로 분해된 환경 곱에 대한 임계적 임베딩을 갖는다.
• 유한 표기 가능한 잔여 자유 군의 클래스는 재귀적으로 열거 가능하여 알고리즘적 열거가 가능하다.
• 잔여 자유 군의 유한 표기 가능한 부분군에 대한 동치 문제와 멤버십 문제는 결정 가능하다.
• 비아벨 직접 인자가 최대 두 개인 군의 경우, 환경 곱의 자기동형군에 대한 유한 검색을 통해 이sov머피즘 문제가 해결 가능하다.
• 유한 표기 가능한 잔여 자유 군은 정확히 F_n 군일 때 FP_n 군이 되며, 이는 강력한 동치성을 확립한다.
• 이 논문은 자유 군의 유한 표기 가능한 부분군 중 FP_∞나 Stallings-Bieri 유형이 아닌 예를 최초로 제시하여, 이러한 군의 알려진 범위를 확장한다.