[논문 리뷰] Isoperimetric functions for subdirect products and Bestvina-Brady groups

Will Dison|ArXiv.org|2008. 10. 22.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 영역-반지름 쌍과 군 표현을 분석하여 극한 군과 베스트비나-브래디 군의 부분직접곱에 대해 다항식 이소페리메트릭 부등식을 수립한다. 특정 유한 지수 및 사영 조건 하에서 이러한 부분군은 유한 생성되며 다항식 딜 함수를 갖는다. 특히 베스트비나-브래디 군은 사차 이소페리메트릭 함수를 갖는 것으로 보여진다.

ABSTRACT

In this thesis we investigate the Dehn functions of two different classes of groups: subdirect products, in particular subdirect products of limit groups; and Bestvina-Brady groups. Let D = Γ_1 imes ... imes Γ_n be a direct product of n \geq 3 finitely presented groups and let H be a subgroup of D. Suppose that each Γ_i contains a finite index subgroup Γ_i' \leq Γ_i such that the commutator subgroup [D', D'] of D' = Γ_1' imes ... imes Γ_n' is contained in H. Suppose furthermore that, for each i, the subgroup Γ_i H has finite index in D. We prove that H is finitely presented and satisfies an isoperimetric inequality given in terms of area-radius pairs for the Γ_i and the dimension of (D'/H) \otimes \Q. In the case that each Γ_i admits a polynomial-polynomial area-radius pair, it will follow that H satisfies a polynomial isoperimetric inequality. As a corollary we obtain that if K is a subgroup of a direct product of n limit groups and if K is of type FP_m(\Q), where m = \max {2, n-1}, then K is finitely presented and satisfies a polynomial isoperimetric inequality. In particular, we obtain that all finitely presented subgroups of a direct product of at most 3 limit groups satisfy a polynomial isoperimetric inequality. We also prove that if B is a finitely presented Bestvina-Brady group, then B admits a quartic isoperimetric function.

연구 동기 및 목표

• 부분직접곱의 이소페리메트릭 행동을 규명하는 것.
• 유한 생성 및 다항식 이소페리메트릭 부등식을 만족하는 조건을 설정하는 것.
• 베스트비나-브래디 군의 딜 함수를 분석하고 그것이 사차 함수임을 보이는 것.
• 극한 군의 직접곱의 유한 생성 부분군에 대한 결과를 FPm(Q) 조건을 사용해 일반화하는 것.
• 영역-반지름 쌍과 조합적 영항호모토피를 통해 딜 함수를 경계 짓는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 유한 생성 군의 딜 함수를 경계 짓기 위해 영역-반지름 쌍을 사용한다.
• 왜곡과 영역 성장 제어를 위해 유한 지수 부분군 기법과 유한 노이즈 보조정리를 적용한다.
• 조합적 영항호모토피와 $φ_n$-사상으로 군 표현의 단어에 대한 영항호모토피를 구성한다.
• 직접곱과 부분군에서 유도된 표현의 단어의 영역을 분석하는 문제로 문제를 환원한다.
• $φ_n$-사상 구축을 통해 목표 군의 단어를 기저 군의 단어로 연결하고 영역 비용을 통제한다.
• 채움 정리와 오른쪽-각 아르틴 군의 CAT(0) 성질을 적용하여 영역 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n ≥ 3인 유한 생성 군의 직접곱의 부분군이 유한 생성되며 다항식 이소페리메트릭 부등식을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 베스트비나-브래디 군의 딜 함수는 무엇이며, 다항식 이소페리메트릭 함수를 갖는가?
• RQ3 영역-반지름 쌍과 코homological 차원을 사용하여 극한 군의 부분직접곱의 이소페리메트릭 함수를 경계 짓는 것이 가능한가?
• RQ4 $(D'/H) \otimes \mathbb{Q}$의 차원이 $H$의 이소페리메트릭 함수에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 FPm(Q) 조건과 극한 군의 직접곱의 부분군의 유한 생성성 및 이소페리메트릭 행동 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $H$가 n ≥ 3인 유한 생성 군의 직접곱의 부분군이며, 유한 지수 사영과 유한 지수 부분군의 교환자군을 포함하면, $H$는 유한 생성되며 영역-반지름 쌍과 $(D'/H) \otimes \mathbb{Q}$의 차원에 기반한 이소페리메트릭 부등식을 만족한다.
• 각 인자 군이 다항식-다항식 영역-반지름 쌍을 갖는다면, $H$는 다항식 이소페리메트릭 부등식을 만족한다.
• 최대 세 개의 극한 군의 직접곱의 모든 유한 생성 부분군은 다항식 이소페리메트릭 부등식을 만족한다.
• 만일 $K$가 $n$개의 극한 군의 직접곱의 부분군이며, $m = \max\{2, n-1\}$일 때 $\mathrm{FP}_m(\mathbb{Q})$이면, $K$는 유한 생성되며 다항식 이소페리메트릭 부등식을 만족한다.
• 유한 생성인 베스트비나-브래디 군은 사차 이소페리메트릭 함수를 갖는다. 즉, 그 딜 함수는 $l^4$ 이하로 경계된다.
• $\mathcal{P}_H^\infty$의 관계적 영역 함수는 $\mathrm{RArea}_H(l) \preceq l^2$를 만족하며, 이는 영역-반지름 쌍의 조합을 통해 사차 딜 함수로 이어진다.