[논문 리뷰] Finiteness properties of pseudo-hyperbolic varieties

Ariyan Javanpeykar, Junyi Xie|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 82인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 의사-쌍곡적 다양체에서 주어진 무한 차수의 동역적 시스템에 대한 Amerik의 정리, Prokhorov-Shramov의 준최소 모델, Weil의 정규화 정리, 그리고 동역적 차수를 사용하여, 주어진 유리 자기사상의 유한성 결과를 확립한다. 핵심 기여는 의사-1-유계 프로젝티브 다양체에서의 주어진 유리 자기사상의 군이 유한하고 토르션임을 증명하는 것이다. 이는 Noguchi의 정리의 일반화이며, Kobayashi-Ochiai의 유한성 결과를 기하적 설정으로 확장한 것이다.

ABSTRACT

Motivated by Lang-Vojta's conjecture, we show that the set of dominant rational self-maps of an algebraic variety over a number field with only finitely many rational points in any given number field is finite by combining Amerik's theorem for dynamical systems of infinite order with properties of Prokhorov-Shramov's notion of quasi-minimal models. We also prove a similar result in the geometric setting by using again Amerik's theorem and Prokhorov-Shramov's notion of quasi-minimal model, but also Weil's regularization theorem for birational self-maps and properties of dynamical degrees. Furthermore, in the geometric setting, we obtain an analogue of Kobayashi-Ochiai's finiteness result for varieties of general type, and thereby generalize Noguchi's theorem (formerly Lang's conjecture).

연구 동기 및 목표

• 대수적 수체 위의 의사-Mordellic 다양체가 유한한 주어진 유리 자기사상만을 가진다는 Lang-Vojta의 추측을 검증한다.
• 일반 유형 다양체에서의 유한성 결과를 더 넓은 범주인 의사-쌍곡적 다양체로 기하적 설정에서 확장한다.
• 일반 유형 다양체에 대한 Kobayashi-Ochiai의 유한성 결과의 기하적 동치를 확립한다. 이는 Noguchi의 정리의 일반화이다.
• 변형 이론과 동역적 불변량을 사용하여 의사-1-유계 다양체에서의 비유리 자기사상의 군이 유한하고 토르션임을 증명한다.

제안 방법

• 무한 차수 동역적 시스템에 대한 Amerik의 정리와 Prokhorov-Shramov의 준최소 모델 개념을 조합하여 유리 자기사상의 제어를 시도한다.
• Weil의 정규화 정리를 적용하여 비유리 자기사상을 비유리 모델에서 자기동형사상으로 확장한다.
• 동역적 차수를 사용하여 반복된 사상에 의한 앰플 라인 번들의 당김의 渐近적 성장률을 분석한다.
• Hwang-Kebekus-Peternell의 변형 이론 기법을 사용하여 정규 다양체 사이의 전사 사상을 연구한다.
• 동역적 차수의 로그-볼록성과 λ₁ > 1이 곡선에서 무한한 차수 성장으로 이어진다는 사실에 기반한다.
• 문제를 차수 성장이 유계이지만 비유리 사상에서는 무한한 성장이 일어나는 곡선 절단으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 수체 위의 의사-Mordellic 다양체에서의 모든 주어진 유리 자기사상은 유한 차수를 가지는가?
• RQ2 비유리 자기사상의 유한성은 일반 유형 다양체를 초월하여 의사-쌍곡적 다양체로 확장될 수 있는가?
• RQ3 의사-1-유계 프로젝티브 다양체에서 주어진 유리 자기사상의 군은 유한하고 토르션인가?
• RQ4 Kobayashi-Ochiai의 유한성 결과의 기하적 동치는 의사-1-유계 다양체에 대해 성립하는가?
• RQ5 동역적 차수를 사용하여 곡선에서의 차수 성장률을 통해 자기사상의 비유리성을 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 의사-1-유계 프로젝티브 다양체에서의 주어진 유리 자기사상의 군은 유한하고 토르션이다.
• 모든 주어진 유리 자기사상은 의사-1-유계 다양체에서 비유리일 수 없으며, 비유리 사상은 곡선에서 무한한 차수 성장을 유도한다.
• 적절한 닫힌 부분집합 외부에서 정의된 정방향 궤도를 가진 점이 존재하면, 그 곡선에서 차수 성장이 유계가 되지만, 비유리 사상에서는 이와 모순된다.
• 동역적 차수 λ₁ > 1은 앰플 라인 번들의 반복 당김의 차수가 무한히 증가함을 의미하며, 이는 곡선에서의 유계성과 모순된다.
• Weil의 정규화 정리는 비유리 자기사상을 비유리 모델에서 자기동형사상으로 확장할 수 있도록 보장하며, 의사-1-유계성에 의해 그 차수는 유한해야 한다.
• 이 결과는 Noguchi의 정리(이전에 Lang의 추측)를 일반화하며, 일반 유형 다양체에 대한 Kobayashi-Ochiai의 유한성 결과의 기하적 동치를 제공한다.