[논문 리뷰] Finsler-Lagrange Geometries and Standard Theories in Physics: New Methods in Einstein and String Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|2007. 07. 11.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 129인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 표준 아인슈타인 및 스트링 중력 이론 내에서 비타당한 분포와 적응된 기저를 사용하여 리만–카르탕 다양체 위의 비타당한 분포를 이용하여 페인슬러–라그랑주 기하학을 모델링하는 새로운 기하적 프레임워크를 제안한다. 이는 탄성 기반의 티엔터리지 형식 없이 국소적 이방성과 정확한 해를 가능하게 한다. 주요 기여는 비선형 연결을 통해 메트릭 호환성 연결을 일반화된 라그랑주 또는 페인슬러 구조로 변형하는 정준 방법을 제공하는 것으로, 특정 조건 하에서 리만-비비타 연결과 동치가 된다.

ABSTRACT

In this article, we review the current status of Finsler-Lagrange geometry and generalizations. The goal is to aid non-experts on Finsler spaces, but physicists and geometers skilled in general relativity and particle theories, to understand the crucial importance of such geometric methods for applications in modern physics. We also would like to orient mathematicians working in generalized Finsler and Kahler geometry and geometric mechanics how they could perform their results in order to be accepted by the community ''orthodox'' physicists. Although the bulk of former models of Finsler-Lagrange spaces where elaborated on tangent bundles, the surprising result advocated in our works is that such locally anisotropic structures can be modelled equivalently on Riemann-Cartan spaces, even as exact solutions in Einstein and/or string gravity, if nonholonomic distributions and moving frames of references are introduced into consideration. We also propose a canonical scheme when geometrical objects on a (pseudo) Riemannian space are nonholonomically deformed into generalized Lagrange, or Finsler, configurations on the same manifold or on a corresponding tangent bundle. Such canonical transforms are defined by the coefficients of a prime metric (it can be a solution of the Einstein equations) and generate target spaces as generalized Lagrange structures, their models of almost Hermitian/ Kahler, or nonholonomic Riemann spaces with constant curvature, for some Finsler like connections. There are formulated the criteria when such constructions can be redefined equivalently in terms of the Levi Civita connection.

연구 동기 및 목표

• 비타당한 분포를 사용하여 리만–카르탕 공간에서 국소적 이방성의 구조를 모델링함으로써 페인슬러–라그랑주 기하학과 표준 일반 상대성 이론 및 초끈 이론을 연결하는 것.
• 같은 다양체 위에서 메트릭 호환성 연결을 일반화된 라그랑주 또는 페인슬러 구조로 변형하는 정준 체계를 제공함으로써 탄성 기반 형식에 의존하지 않는 것.
• 해당 페인슬러 유사 기하학이 리만-비비타 연결으로 동치로 재구성될 수 있는 조건을 명확히 하여 전통 물리학과의 호환성을 확보하는 것.
• 정확한 해, 특히 솔리톤형 pp-파동을 구성함으로써 아인슈타인 및 스트링 중력 이론 내에서 효과적인 라그랑주–페인슬러 기하학을 실현함으로써 물리적 관련성을 입증하는 것.
• 기하학적 구성과 표준 물리적 틀 및 용어를 일치시킴으로써 수학자와 물리학자들이 페인슬러 방법을 채택하도록 안내하는 것.

제안 방법

• 기본 다양체 위에서 비타당한 분포와 적응된 d-메트릭을 갖춘 비타당한 다양체를 사용하여 탄성 기반 대신 기본 다양체 위에서 페인슬러 유사 기하학을 모델링한다.
• 비타당한 기저 방법을 적용하여 d-접속(비타당한 토션, d-곡률)을 정의하고, 기본 리만 메트릭에서 일반화된 라그랑주–페인슬러 기하학을 구성한다.
• 주어진 아인슈타인 메트릭이 비타당한 분포를 통해 N-접속 및 d-접속의 구조를 이용하여 페인슬러–라그랑주 구성으로 비타당하게 변형되는 정준 변형 체계를 도입한다.
• 등각적 리프트를 사용하여 기본 다양체 위의 아인슈타인 기하학을 탄성 기반 위의 거의 헬름홀츠 또는 카일러 기하학으로 매핑함으로써 기하학적 호환성을 유지한다.
• 카르탕 또는 체른과 같은 특수한(d-)접속을 사용하여 비타당한 기하학적 구조 위에서 메트릭 호환성 아핀 접속을 정의함으로써, 특정 곡률 및 토크 조건 하에서 리만-비비타 연결과 동치가 되도록 한다.
• 이 형식을 사용하여 아인슈타인 및 스트링 중력 이론 내 정확한 해를 구성함으로써, 솔리톤형 pp-파동을 포함한 해를 구축하고, 비정상적인 이방성을 갖는 효과적인 라그랑주–페인슬러 공간으로 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 아인슈타인 중력 이론 내에서 탄성 기반 형식 없이 페인슬러–라그랑주 기하학을 일관적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 비타당한 다양체 위의 페인슬러 유사 기하학이 리만 공간의 리만-비비타 연결과 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 아인슈타인 및 스트링 중력 이론 내 정확한 해는 비타당한 변형을 통해 어떻게 일반화된 라그랑주–페인슬러 기하학으로 재해석될 수 있는가?
• RQ4 비선형 연결과 적응된 기저는 중력 이론에서 국소적 이방성을 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 플랑크 스케일에서의 결정론적 양자 모델은 비메트릭성과 비타당한 제약 조건을 피하면서 메트릭 호환성 페인슬러 접속을 사용하여 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 비타당한 분포와 적응된 기저를 사용하여 리만–카르탕 공간에서 페인슬러–라그랑주 기하학을 동치로 모델링할 수 있으며, 이는 탄성 기반 구성이 필요 없음을 의미한다.
• 주어진 아인슈타인 메트릭이 N-접속 및 d-접속의 구조를 통해 일반화된 라그랑주 또는 페인슬러 구조로 변형되는 정준 변형 체계가 존재하며, 이는 메트릭 호환성을 유지한다.
• 해당 페인슬러 유사 기하학은 변형 텐서가 0이거나 특정 곡률 및 토크 조건을 만족할 경우 리만-비비타 연결과 동치가 된다.
• 스카워츠실트 시공간 내 솔리톤형 pp-파동과 같은 정확한 해는 효과적인 라그랑주–페인슬러 기하학으로 재해석될 수 있으며, 이는 중력파 및 양자 중력 이론적 맥락에서 물리적 관련성을 시사한다.
• 플랑크 스케일에서의 결정론적 양자 모델은 메트릭 호환성 페인슬러 접속(예: 카르탕 접속)을 사용하여 구성할 수 있으며, 비메트릭성과 비타당한 제약 조건을 피하면서 표준 양자화 절차를 가능하게 한다.
• 이 형식은 아인슈타인 기하학을 탄성 기반으로 등각적으로 리프팅할 수 있으며, 이는 거의 헬름홀츠 또는 카일러 기하학을 생성하여 일반화된 페인슬러–라그랑주 역학을 지원한다.