[논문 리뷰] First-Order Methods for Large-Scale Market Equilibrium Computation

Yuan Gao, Christian Kroer|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Advanced Bandit Algorithms Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형, 준선형, Leontief 유틸리티 함수 하에서 대규모 시장 균형 계산을 위한 일阶 최적화 방법을 제안한다. 다각형 집합 위에서 부드럽고 볼록 최적화 문제로 균형 문제를 재구성함으로써, 약화된 강력凸성 조건과 Proximal-PL 조건을 사용하여 투영 및 프록시멀 경사하강법의 선형 수렴를 확립한다. 또한, 하위선형 마지막 반복 수렴 속도를 보이는 새로운 미러 강하(variant)를 도입하여 비례 응답 동역학을 회복한다.

ABSTRACT

Market equilibrium is a solution concept with many applications such as digital ad markets, fair division, and resource sharing. For many classes of utility functions, equilibria can be captured by convex programs. We develop simple first-order methods suitable for solving these convex programs for large-scale markets. We focus on three practically-relevant utility classes: linear, quasilinear, and Leontief utilities. Using structural properties of market equilibria under each utility class, we show that the corresponding convex programs can be reformulated as optimization of a structured smooth convex function over a polyhedral set, for which projected gradient achieves linear convergence. To do so, we utilize recent linear convergence results under weakened strong-convexity conditions, and further refine the relevant constants in existing convergence results. Then, we show that proximal gradient (a generalization of projected gradient) with a practical linesearch scheme achieves linear convergence under the Proximal-PL condition, a recently developed error bound condition for convex composite problems. For quasilinear utilities, we show that Mirror Descent applied to a new convex program achieves sublinear last-iterate convergence and yields a form of Proportional Response dynamics, an elegant, interpretable algorithm for computing market equilibria originally developed for linear utilities. Numerical experiments show that Proportional Response dynamics is highly efficient for computing approximate market equilibria, while projected gradient with linesearch can be much faster when higher-accuracy solutions are needed.

연구 동기 및 목표

• 디지털 광고 시장과 자원 공유와 같은 응용 분야에서 대규모 시장 균형 문제를 해결하는 계산적 과제를 다루기 위해.
• 선형, 준선형, Leontief의 세 가지 핵심 유틸리티 유형 하에서 시장 균형에서 발생하는 볼록 프로그래밍에 특화된 효율적인 일阶 최적화 방법을 개발하기 위해.
• 약화된 강력凸성 조건을 사용한 정밀한 상수와 최신 수렴 이론을 적용하여, 투영 및 프록시멀 경사하강법의 선형 수렴 보장을 확립하기 위해.
• 최적화 알고리즘과 경제적 동역학을 연결하기 위해, 신규로 제안된 볼록 프로그램에 대한 미러 강하가 준선형 유틸리티의 비례 응답 동역학을 회복함을 보여주기 위해.
• 정확도 요구 수준이 다른 다양한 조건에서 정확도와 속도를 비교하여 수치 실험을 통해 이러한 방법들의 실용적 효율성을 평가하기 위해.

제안 방법

• 각 유틸리티 유형 하에서 시장 균형 문제를 다각형 집합 위의 부드럽고 볼록 최적화 문제로 재구성하여, 일阶 최적화 방법의 적용을 가능하게 한다.
• 약화된 강력凸성 조건과 정밀한 수렴 상수를 활용하여 선형 수렴를 달성하기 위해 선형 검색를 갖춘 투영 경사하강법을 적용한다.
• Proximal-PL 조건 하에서 선형 검색를 사용한 프록시멀 경사하강법을 적용하여, 유틸리티 유형에서 발생하는 복합 볼록 문제에 대한 선형 수렴를 보장한다.
• 준선형 유틸리티를 위한 새로운 볼록 프로그램 설정을 도입하고, 이에 대해 미러 강하를 적용함으로써 하위선형 마지막 반복 수렴 속도를 얻는다.
• 유도된 미러 강하 동역학이 선형 유틸리티에 대해 처음으로 설계된 해석 가능하고 우아한 알고리즘인 비례 응답 동역학과 일치함을 도출한다.
• 정확도 요구 수준이 다양한 조건에서 비례 응답과 선형 검색를 갖춘 투영 경사하강법의 수치 성능을 구현하고 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형, 준선형, Leontief 유틸리티 함수 하에서 일阶 최적화 방법이 대규모 시장 균형 문제에 대해 선형 수렴를 달성할 수 있는가?
• RQ2 약화된 강력凸성 조건과 Proximal-PL 조건이 이러한 시장 균형 문제의 수렴 보장에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 신규로 제안된 볼록 프로그램에 대한 미러 강하가 준선형 유틸리티의 비례 응답 동역학을 회복할 수 있으며, 어떤 수렴 속도를 달성하는가?
• RQ4 정확도 요구 수준이 높을 경우 비례 응답과 선형 검색를 갖춘 투영 경사하강법 간에 계산 속도와 정확도 사이의 실용적 트레이드오프는 어떠한가?
• RQ5 다른 유틸리티 함수 하에서 시장 균형의 구조적 특성이 일阶 최적화에 적합한 재구성 가능성을 어떻게 제공하는가?

주요 결과

• 선형 검색를 갖춘 투영 경사하강법은 약화된 강력凸성 조건과 정밀한 수렴 상수를 활용하여 세 유틸리티 유형 모두에서 선형 수렴를 달성한다.
• 선형 검색를 갖춘 프록시멀 경사하강법은 Proximal-PL 조건 하에서 선형 수렴를 달성하여 복합 볼록 문제에 대한 성능에 대한 이론적 기반을 제공한다.
• 준선형 유틸리티를 위한 새로운 볼록 프로그램에 대해 적용된 미러 강하는 하위선형 마지막 반복 수렴 속도를 보이며 비례 응답 동역학을 회복한다.
• 수치 실험 결과 비례 응답 동역학이 근사 시장 균형을 계산하는 데 매우 효율적임을 보여준다.
• 높은 정확도 요구 사항이 있을 경우 선형 검색를 갖춘 투영 경사하강법이 비례 응답보다 속도 면에서 뚜렷한 우위를 점한다.
• 다각형 집합 위의 부드럽고 볼록 최적화 문제로 시장 균형을 재구성함으로써 고급 일阶 최적화 방법의 강력한 수렴 보장을 가능하게 한다.