[논문 리뷰] First order strong approximations of scalar SDEs with values in a domain

Andreas Neuenkirch, Łukasz Szpruch|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비라플라스키스 계수를 가진 일차원 SDE의 강한 근사에 대해 도메인 내에 머무르는 Lamperti 변환 기반의 백워드 오일러-마르야모 방법을 제안한다. SDE를 산란 계수가 일정한 형태로 변환하고, 드리프트 암시적 오일러 방법을 적용한 후 변환을 역행함으로써 도메인을 유지하고 강한 수렴성을 1차로 달성한다. 이는 금융 및 생물학 분야의 주요 모델인 CIR, CEV, Ait-Sahalia 모델에 적용 가능하다.

ABSTRACT

We are interested in strong approximations of one-dimensional SDEs which have non-Lipschitz coefficients and which take values in a domain. Under a set of general assumptions we derive an implicit scheme that preserves the domain of the SDEs and is strongly convergent with rate one. Moreover, we show that this general result can be applied to many SDEs we encounter in mathematical finance and bio-mathematics. We will demonstrate flexibility of our approach by analysing classical examples of SDEs with sublinear coefficients (CIR, CEV models and Wright-Fisher diffusion) and also with superlinear coefficients (3/2-volatility, Ait-Sahalia model). Our goal is to justify an efficient Multi-Level Monte Carlo (MLMC) method for a rich family of SDEs, which relies on good strong convergence properties.

연구 동기 및 목표

• 비라플라스키스 드리프트 또는 산란 계수를 가진 스칼라 SDE의 도메인을 유지하는 수치적 방법을 개발한다.
• 기존의 명시적 방법의 한계를 극복하고 이러한 SDE에 대해 강한 수렴성을 1차로 달성한다.
• 수학적 금융 및 생물수학에서의 SDE에 적용 가능한 일반적인 프레임워크를 제공한다. 이는 부분선형 및 초선형 계수를 가진다.
• 다중수준 몬테카를로 방법의 효율성을 입증하기 위해 고차수의 강한 수렴성을 확보한다.
• 변환된 백워드 오일러 방법과 원래 SDE에 대한 드리프트 암시적 밀스타인 방법 사이의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• 상태에 의존하는 산란 계수를 가진 원래 SDE를 산란 계수가 일정한 SDE로 변환하기 위해 Lamperti 변환을 적용한다.
• 안정성과 도메인 보존을 보장하기 위해 변환된 SDE를 백워드 오일러-마르야모(BEM) 방법으로 근사한다.
• BEM 방법의 해를 역 Lamperti 변환을 통해 원래 SDE의 수치적 방법으로 변환한다.
• 비라플라스키스 계수를 다루기 위해 드리프트 암시적 형태를 사용하여 양수성과 단조성을 유지한다.
• 변환된 방정식의 드리프트가 한쪽 방향 라플라스키스 성질을 가지므로, 사전 추정과 모멘트 경계를 활용해 수렴성을 입증한다.
• 역 변환의 점근적 전개를 통해 변환된 SDE에서의 BEM과 원래 SDE에서의 드리프트 암시적 밀스타인 방법을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비라플라스키스 계수를 가진 스칼라 SDE의 도메인을 유지하면서 강한 1차 수렴성을 달성할 수 있는 수치적 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 Lamperti 변환은 부분선형 및 초선형 산란 계수를 다루기 위해 암시적 방법과 어떻게 효과적으로 조합될 수 있는가?
• RQ3 원래 SDE의 계수에 어떤 조건이 성립하면 해당 방법의 강한 수렴성이 보장되는가?
• RQ4 변환된 SDE에서의 백워드 오일러-마르야모 방법은 원래 SDE에서의 알려진 드리프트 암시적 밀스타인 방법과 동일한가?
• RQ5 이 프레임워크는 금융 및 생물학 분야의 SDE에 대해 효율적인 다중수준 몬테카를로 방법을 지원하도록 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 Lamperti-오일러 방법은 온건한 가정 하에 이산화 점들 사이의 최대 $L^p$-거리에서 강한 수렴성을 1차로 달성한다.
• CIR 과정의 경우, 조건 $\frac{\kappa\theta}{\sigma^2} > \frac{3}{2}$ 하에서 강한 수렴성이 1차로 달성되며, 이는 이전 결과의 $\frac{1}{2}$-차수 수렴보다 향상된 것이다.
• 표준 명시적 방법과 달리, 이 방법은 초기값에 대해 양수성과 단조성을 유지한다.
• 변환된 SDE에서의 백워드 오일러 방법은 원래 SDE에서의 드리프트 암시적 밀스타인 방법과 일치하며, 새로운 해석과 검증을 제공한다.
• 이 프레임워크는 CEV 모델, 와이트-파이저 확산, 3/2-볼라티리티 모델, Ait-Sahalia 모델을 포함한 광범위한 SDE 클래스에 적용 가능하며, 모두 강한 1차 수렴성을 보인다.
• 드리프트 암시적 밀스타인 방법의 조각별 선형 보간에 대해 날카운 오차 추정식을 유도하였으며, 동일한 조건 하에 $\mathbb{E}\left[\max_{t\in[0,T]}|y(t)-\overline{Z}_t|^2\right]^{1/2} \leq C \sqrt{\log(\Delta t)} \sqrt{\Delta t}$ 를 도출하였다.