[논문 리뷰] Inverting the Markovian projection, with an application to local stochastic volatility models

Daniel Lacker, Mykhaylo Shkolnikov외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 마르코프성 사영의 역을 수행하는 두 차원의 McKean–Vlasov SDE 클래스에 대해 정적 해의 강한 존재성과 유일성을 확립하며, 사전에 지정된 주변 분포와 더 풍부한 역학을 갖는 국소 확률적 볼라티리티 모델의 구축을 가능하게 한다. 주요 기여는 볼라티리티 승수 함수가 제곱될 경우 정적 분포가 인과적으로 분해됨을 증명하여, 정적 상태에서 성분 간의 독립성을 보장한다는 점이다.

ABSTRACT

We study two-dimensional stochastic differential equations (SDEs) of McKean--Vlasov type in which the conditional distribution of the second component of the solution given the first enters the equation for the first component of the solution. Such SDEs arise when one tries to invert the Markovian projection developed by Gyöngy (1986), typically to produce an Itô process with the fixed-time marginal distributions of a given one-dimensional diffusion but richer dynamical features. We prove the strong existence of stationary solutions for these SDEs, as well as their strong uniqueness in an important special case. Variants of the SDEs discussed in this paper enjoy frequent application in the calibration of local stochastic volatility models in finance, despite the very limited theoretical understanding.

연구 동기 및 목표

• 국소 확률적 볼라티리티 모델 校정에서 마르코프성 사영을 역으로 수행하는 데 필요한 이론적 기초가 부족한 문제를 다루기 위해.
• 이러한 역사영에서 유도된 두 차원의 McKean–Vlasov SDE 클래스에 대해 정적 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 특히 볼라티리티 승수 함수가 제곱될 조건 하에서 이러한 SDE의 정적 분포를 특성화하기 위해.
• 정적 곱형 분포를 유지하는 시간 변화 확산 과정을 위한 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 두 번째 성분의 함수에 대한 조건부 기대값에 의존하는 첫 번째 성분의 드리프트 및 확산 계수를 갖는 두 차원 SDE를 수립한다.
• 강한 존재성과 유일성을 보장하기 위해 계수(드리프트, 확산, 승수 함수)에 정규성 및 에르고딕성 조건을 도입한다.
• 포크너-플랑크 방정식과 정적 측도 분석을 적용하여 연합 과정의 정적 분포를 특성화한다.
• 시간 변화 확산 해석을 통해 승수 함수가 제곱될 경우 정적 측도가 곱형을 유지함을 보인다.
• 에르고딕 이론 및 약한 유일성(트레비산의 정리에 기반)을 적용하여 유일한 정적 법칙을 식별한다.
• 조건 $ h \equiv f^2 $ 하에서 SDE의 정적 측도가 개별 성분의 주변 정적 측도의 곱임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마르코프성 사영을 역으로 수행하는 두 차원의 McKean–Vlasov SDE가 강한 정적 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 SDE의 정적 분포가 주변 분포의 곱으로 분해되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 제곱된 승수 함수 $ f^2 $ 는 정적 상태에서 성분 간의 독립성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 시간 변화 확산 과정은 원래 SDE와 동일한 정적 측도를 어떻게 유지하는가?
• RQ5 계수에 최소한의 정규성 가정이 있을 때도 정적 해의 약한 유일성을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 가정 A 하에서 두 차원 SDE (1.5)는 유일한 강한 정적 해를 갖는다.
• 조건 $ h \equiv f^2 $ 를 만족할 경우 SDE의 정적 분포는 곱 측도이며, 이는 정적 상태에서 성분 간의 독립성을 의미한다.
• 첫 번째 성분의 정적 법칙은 원래 일차원 확산 과정의 주변 법칙과 일치하여 목표 분포를 유지한다.
• 조건 $ h \equiv f^2 $ 에서 정적 밀도 $ p(x,y) $ 는 명시적으로 $ m_1(x) m_2(y) $ 로 표현되며, 여기서 $ m_1 $ 과 $ m_2 $ 는 주변 SDE의 정적 밀도이다.
• 시간 변화 과정 $ (X_{\tau_t}, Y_t) $ 는 $ \tau_t = \int_0^t f^2(Y_s) ds $ 를 만족하며, 비정상적인 시간 변화에도 불구하고 원래 SDE와 동일한 정적 분포를 갖는다.
• 정적 해는 법칙에 대해 유일하며, 조건 $ h \equiv f^2 $ 하에서 정적 측도 하에서 성분 간에 독립적이다.