[논문 리뷰] Fixed Point Approximation of Suzuki Generalized Nonexpansive Mappings via New Faster Iteration Process

Nawab Hussain, Kifayat Ullah외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 27.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 19인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 수우지의 일반화된 비확장 사상의 고정점을 근사하기 위한 새로운 K 반복 과정을 제안한다. 분석적이고 수치적으로 K 반복 과정이 피카르-S, 타쿠르 뉴, 바탄 이중단계 반복 과정과 같은 기존 방법보다 더 빠르게 수렴하는 것으로 보여주며, 안정성, 데이터 의존성, 약한/강한 수렴 정리도 증명함으로써 고정점 이론 분야의 기존 결과를 확장하고 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we propose a new iteration process, called the K iteration process, for approximation of fixed points. We show that our iteration process is faster than the existing leading iteration processes like Picard-S iteration process, Thakur New iteration process and Vatan Twostep iteration process for contraction mappings. We support our analytic proof by a numerical example. Stability of K iteration process and data dependence result for contraction mappings by employing K iteration process is also discussed. Finally we prove some weak and strong convergence theorems for the Suzuki generalized nonexpansive mappings in the setting of uniformly convex Banach space. Our results are extension, improvement and generalization of many known results in the literature of fixed point theory.

연구 동기 및 목표

• 수우지의 일반화된 비확장 사상의 고정점을 근사하기 위한 새로운 반복 과정—즉, K 반복 과정을 개발하기.
• 수축 사상에 대해 K 반복 과정이 기존의 주요 반복 과정보다 더 빠르게 수렴함을 분석적이고 수치적으로 입증하기.
• 수축 사상 하에서 K 반복 과정의 안정성과 데이터 의존성 결과를 증명하기.
• 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 수우지의 일반화된 비확장 사상에 대해 약한 수렴 및 강한 수렴 정리를 확립하기.
• 수축 사상의 범위를 넓힌 더 광범위한 사상 클래스로 수렴 성질을 확장함으로써 기존 고정점 이론 결과를 일반화하고 향상시키기.

제안 방법

• 0 < a ≤ b < 1 인 [a,b] 구간 내의 매개수 αₙ과 βₙ를 포함한 특정 재귀식을 이용한 새로운 이중단계 반복 체계인 K 반복 과정을 제안한다.
• 수축 사상에 대해 K 반복 과정이 피카르-S, 타쿠르 뉴, 바탄 이중단계 반복 과정보다 더 빠르게 수렴함을 보여주기 위해 분석적 비교 기법을 활용한다.
• 수우지가 도입한 조건 (C) 개념을 활용하여 일반화된 비확장 사상을 정의하며, 이는 비확장 사상과 수축 사상을 모두 일반화한다.
• 바나흐 공간의 옵아일 성질과 균일한 볼록성을 활용하여 K 반복 과정의 약한 수렴 및 강한 수렴 정리를 증명한다.
• T(x) = (x+2)^(1/3) 를 [0,4] 에서 적용한 수치 예제를 통해 K, 피카르-S, 타쿠르 뉴, 바탄 이중단계 반복 과정 간의 수렴 속도를 비교한다.
• 매핑이 조건 (I) 를 만족한다고 가정할 때, 조건 (I) 과 함수 f 를 활용하여 강한 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 K 반복 과정은 수축 사상에 대해 피카르-S, 타쿠르 뉴, 바탄 이중단계 반복 과정과 같은 기존 주요 반복 과정보다 더 빠르게 수렴하는가?
• RQ2 K 반복 과정은 매핑 또는 초기 자료에 대한 소규모 변동에 대해 안정적인가?
• RQ3 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 수우지의 일반화된 비확장 사상에 대해 K 반복 과정이 약한 수렴 및 강한 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 수축 사상에 대해 K 반복 과정을 통해 계산된 고정점의 데이터 의존성 행동은 어떠한가?
• RQ5 K 반복 과정은 다른 확립된 반복 체계와 비교해 수치적으로 수렴 속도가 어떻게 되는가?

주요 결과

• 분석적 비교와 수치적 증거를 통해, K 반복 과정이 수축 사상에 대해 피카르-S, 타쿠르 뉴, 바탄 이중단계 반복 과정보다 더 빠르게 수렴함을 확인하였다.
• T(x) = (x+2)^(1/3) 인 수치 예제에서 K 반복 과정은 8회 반복 후 고정점 1.521379706804568 에 도달하였으며, 다른 방법들보다 수렴 속도에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 수축 사상에 대해 K 반복 과정이 안정함을 증명하여, 입력 또는 매핑에 대한 소규모 오차에 대해서도 견고함을 보였다.
• 고정점이 매핑 매개수에 대해 연속적으로 의존함을 보여주는 데이터 의존성 결과를 확립하였다.
• 매핑이 조건 (I) 를 만족한다고 가정할 경우, 균일하게 볼록한 바나흐 공간과 매개수 제약 조건 하에서 K 반복 과정이 고정점으로 강한 수렴을 달성함을 증명하였다.
• 수축 사상과 비확장 사상을 특수 케이스로 포함하는 수우지의 일반화된 비확장 사상으로 수렴 결과를 확장함으로써, 고정점 이론 분야의 기존 결과를 일반화하고 향상시켰다.