[논문 리뷰] Fixed point properties for semigroups of nonlinear mappings on unbounded sets

Anthony To‐Ming Lau, Yong Zhang|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 22.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 32인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간의 유계가 아닌 닫힌 볼록 부분집합에서 비압축성 및 일반화된 하이브리드 매핑의 준위상적 준군에 대해 공통 고정점 정리들을 수립한다. 공통적으로 매력적인 점의 개념을 도입하고 $ C_b(S) $, $ LUC(S) $, $ AP(S) $, $ WAP(S) $ 등의 함수 공간 위의 좌측 불변 평균을 활용하여, 점 $ c \in C $ 가 유계 궤도를 가지면, 준군이 애매성 또는 반전 가능성 조건을 만족할 경우 공통 고정점이 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

A well-known result of W. Ray asserts that if $C$ is an unbounded convex subset of a Hilbert space, then there is a nonexpansive mapping $T$: $C o C$ that has no fixed point. In this paper we establish some common fixed point properties for a semitopological semigroup $S$ of nonexpansive mappings acting on a closed convex subset $C$ of a Hilbert space, assuming that there is a point $c\in C$ with a bounded orbit and assuming that certain subspace of $C_b(S)$ has a left invariant mean. Left invariant mean (or amenability) is an important notion in harmonic analysis of semigroups and groups introduced by von Neumann in 1929 \cite{Neu} and formalized by Day in 1957 \cite{Day}. In our investigation we use the notion of common attractive points introduced recently by S. Atsushiba and W. Takahashi.

연구 동기 및 목표

• 유계 궤도를 가지는 경우가 아닌 힐버트 공간의 비유계 볼록 집합에서 비압축성 준군의 고정점 결과를 고전적 경우 이외로 확장하기 위해.
• $ C_b(S) $, $ LUC(S) $, $ AP(S) $, $ WAP(S) $ 등의 함수 공간 위의 좌측 불변 평균이 공통 고정점을 보장하는 데 어떻게 기여하는지 조사하기 위해.
• Atsushiba와 Takahashi의 공통 매력적인 점에 대한 이전 결과를 더 넓은 범위의 준위상적 준군으로 일반화하기 위해.
• 준군과 그 작용(예: 애매성, 반전 가능성, 연속성 등)에 대해 어떤 조건에서 비유계 집합에서도 공통 고정점이 존재하는지 규명하기 위해.
• 엄격한 볼록성과 힐버트 공간에서의 공통 매력적인 점과 공통 고정점 간의 관계를 탐색하기 위해.

제안 방법

• Atsushiba와 Takahashi가 도입한 공통 매력적인 점의 개념을 활용하여 준군의 고정점 집합을 특성화한다.
• $ C_b(S) $, $ LUC(S) $, $ AP(S) $, $ WAP(S) $ 위의 좌측 불변 평균을 적용하여 공통 고정점으로 수렴하는 연산자 넷 $ T_\mu $ 를 구성한다.
• 준군 작용에 대해 약한 분리 연속성, 약한 공동 연속성, 약한 준등연속성 등의 위상 조건을 도입한다.
• 만약 어떤 $ c \in C $ 에 대해 $ \{T_s c\} $ 가 유계이면, 매력적인 점의 집합 $ A_C(\mathcal{S}) $ 는 공백이 아니며 닫힌 볼록 집합임을 증명한다.
• 부분공간 $ X \subset \ell^\infty(S) $ 에 이중 불변 평균 $ \mu $ 가 존재함을 이용하여 $ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $ 이고 $ \lim_t P_{A_C(\mathcal{S})}(T_t x) = T_\mu x $ 를 확보한다.
• 연속성과 궤도의 유계성 조건을 가정하여 일반화된 하이브리드 매핑 이론을 적용하여 비압축성 매핑을 초월한 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준위상적 준군 $ S $ 가 어떤 조건을 만족할 경우, 비유계 닫힌 볼록 집합 $ C \subset H $ 에서 비압축성 매핑의 연속적 표현이 공통 고정점을 가지는가?
• RQ2 집합 $ C $ 가 비유계일지라도, 어떤 $ c \in C $ 에 대해 $ \{T_s c\} $ 가 유계일 경우, 공통 매력적인 점의 존재가 보장되는가?
• RQ3 $ C_b(S) $, $ LUC(S) $, $ AP(S) $, 또는 $ WAP(S) $ 에 좌측 불변 평균이 존재하면, 이는 준군 $ S $ 에 대해 공통 고정점의 존재를 보장하는가?
• RQ4 약한 분리 연속성 또는 공동 연속성과 같은 준군 작용의 위상적 성질이 고정점의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 유사한 조건 하에서 비압축성 매핑에 대한 결과를 일반화된 하이브리드 매핑으로 얼마나 넓히는가?

주요 결과

• 만약 $ S $ 가 좌측 애매한 준위상적 준군이고, 어떤 $ c \in C $ 에 대해 $ \{T_s c\} $ 가 유계이면, $ F(S) \neq \emptyset $ 이며, 이는 Atsushiba와 Takahashi의 결과를 비가환 준군으로 확장한다.
• 우측 반전 가능한 준위상적 준군 $ S $ 에 대해, $ \{T_s c\} $ 가 유계이고 작용이 약한 분리 연속성과 약한 준등연속성을 만족하면, $ A_C(\mathcal{S}) \neq \emptyset $ 이고, 모든 $ x \in C $ 에 대해 $ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $ 이다.
• $ X = C_b(S) $ 이고 $ s \mapsto T_s c $ 가 $ (C, \text{wk}) $ 에 연속일 경우, 집합 $ A_C(\mathcal{S}) $ 는 공백이 아니며 닫힌 볼록 집합이며, $ \lim_t P_{A_C(\mathcal{S})}(T_t x) = T_\mu x $ 이다.
• 동일한 결론은 $ X = LUC(S) $ 에서 약한 공동 연속성, $ X = AP(S) $ 에서 약한 등연속성, $ X = WAP(S) $ 에서 약한 준등연속성 조건 하에서도 성립한다.
• 일반화된 하이브리드 매핑의 경우, $ \{T_s c\} $ 가 유계이고 $ X \subset \ell^\infty(S) $ 가 이중 불변 평균 $ \mu $ 를 가질 경우, $ A_C(\mathcal{S}) \neq \emptyset $ 이고 $ T_\mu x \in A_C(\mathcal{S}) $ 이다.
• 정리 5.4 는 $ C $ 가 볼록일 경우, 공통 매력적인 점의 존재가 비유계 설정에서도 준군 $ S $ 에 대한 공통 고정점의 존재를 암시함을 확인한다.