[논문 리뷰] Fixed-Time Extremum Seeking

Jorge I. Poveda, Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 15.

Extremum Seeking Control Systems참고 문헌 41인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초기 조건과 무관한 시간 범위 내에서 최적 해로 수렴함을 보장하는 고정시간 극값 탐색 제어기를 소개한다. 비연속 시스템에 대한 평균 이론을 통해 유도된 새로운 기울기 기반 및 뉴턴 기반 동역학을 사용하여, 정적 및 동적 시스템 모두에서 고정시간 수렴을 달성하는 알고리즘을 제안한다. 특히 뉴턴 기반 변형은 비용 함수의 성질과 무관하게 완전히 조절 가능한 수렴 시간을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a new class of extremum seeking controllers able to achieve fixed time convergence to the solution of optimization problems defined by static and dynamical systems. Unlike existing approaches in the literature, the convergence time of the proposed algorithms does not depend on the initial conditions and it can be prescribed a priori by tuning the parameters of the controller. Specifically, our first contribution is a novel gradient-based extremum seeking algorithm for cost functions that satisfy the Polyak-Lojasiewicz (PL) inequality with some coefficient κ> 0, and for which the extremum seeking controller guarantees a fixed upper bound on the convergence time that is independent of the initial conditions but dependent on the coefficient κ. Second, in order to remove the dependence on κ, we introduce a novel Newton-based extremum seeking algorithm that guarantees a fully assignable fixed upper bound on the convergence time, thus paralleling existing asymptotic results in Newton-based extremum seeking where the rate of convergence is fully assignable. Finally, we study the problem of optimizing dynamical systems, where the cost function corresponds to the steady-state input-to-output map of a stable but unknown dynamical system. In this case, after a time scale transformation is performed, the proposed extremum seeking controllers achieve the same fixed upper bound on the convergence time as in the static case. Our results exploit recent gradient flow structures proposed by Garg and Panagou in [3], and are established by using averaging theory and singular perturbation theory for dynamical systems that are not necessarily Lipschitz continuous. We confirm the validity of our results via numerical simulations that illustrate the key advantages of the extremum seeking controllers presented in this paper.

연구 동기 및 목표

• 극값 탐색 제어에서 지속적인 과도 성능 문제, 특히 초기 조건에 따라 증가하는 수렴 시간이 무한대에 이를 수 있는 문제를 해결하기 위해.
• 비용 함수의 도함수를 알지 못해도 초기 조건과 무관한 고정시간 수렴을 달성하는 모델-프리 극값 탐색 알고리즘을 개발하기 위해.
• 시간 스케일 변환과 안정된 입력-출력 맵핑을 활용하여 고정시간 수렴 보장을 동적 시스템으로 확장하기 위해.
• 비-립시츠 시스템을 위한 일반화된 평균 이론과 특수한 섭동 이론을 사용하여 이론적 기반을 구축하고, 강건한 수렴 분석을 가능하게 하기 위해.
• 제약 최적화, 게임 이론 설정, 고정시간 수렴을 갖는 시간에 따라 변하는 최적화기로의 향후 확장을 위한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 비용 함수가 폴리악-로자이에프스키(PL) 부등식을 만족하는 경우를 대상으로 하여, PL 상수 κ에 의존하는 수렴 시간 상한을 갖는 고정시간 기울기 기반 극값 탐색(FTGES) 알고리즘을 제안한다.
• PL 상수 κ에 대한 의존성을 제거하고, 제어기 파ameter를 통해 완전히 조절 가능한 수렴 시간 상한을 갖는 고정시간 뉴턴 기반 극값 탐색(FTNES) 알고리즘을 도입한다.
• 고주기 진동과 느린 동역학을 갖는 시간 스케일 분離 구조를 사용하며, 이때 느린 동역학은 평균 이론을 통해 기울기 또는 뉴턴 흐름을 모방한다.
• 비연속적이며 비-립시츠인 시스템에 대해 일반화된 평균 이론을 적용하여 수렴을 분석하고, 고전적 결과를 비연속 극값 탐색으로 확장한다.
• 동적 시스템에 대해 시간 스케일 변환을 수행하여 안정된 입력-출력 맵핑을 활용해 고정시간 수렴을 보장할 수 있는 형태로 변환한다.
• 기본 평균 동역학을 유도하여 표준 기울기 또는 뉴턴 흐름과 일치시키며, 이로 인해 닫힌 루프 시스템이 고정된 시간 내에 최적 해를 추적함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적 최적화 문제에 대해, 초기 조건과 무관한 고정시간 수렴을 달성하는 극값 탐색 제어기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 수렴 시간 상한을 비용 함수의 성질, 특히 PL 상수 κ와 무관하게 완전히 조절 가능하게 만들 수 있는가?
• RQ3 모르는 안정된 동적 특성을 갖는 동적 시스템으로도, 안정된 입력-출력 맵핑을 활용하여 고정시간 수렴을 확장할 수 있는가?
• RQ4 극값 탐색에서 발생하는 비연속적이며 비-립시츠 시스템을 분석하기 위해 평균 이론을 일반화할 수 있는가?
• RQ5 제안된 프레임워크를 제약 최적화나 고정시간 수렴을 갖는 시간에 따라 변하는 최적화기 등 더 복잡한 설정으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• FTGES 알고리즘은 PL 상수 κ에 의존하는 수렴 시간 상한을 갖지만, 초기 조건과 무관하게 고정시간 수렴을 달성한다.
• FTNES 알고리즘은 뉴턴 유사 동역학을 활용하여, κ와 초기 조건과 무관하게 완전히 조절 가능한 수렴 시간 상한을 확보한다.
• 동적 시스템의 경우 시간 스케일 변환을 거친 후, 정적 경우와 동일한 고정 시간 상한을 갖는 수렴 시간을 달성한다.
• 제안된 제어기의 축소된 평균 동역학은 표준 기울기 또는 뉴턴 흐름과 일치하며, 적절한 가정 하에 전역 최소화점으로의 수렴을 보장한다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 결과를 확인하며, 초기 조건과 무관하게 빠르고 유한한 수렴을 보여준다.
• 이론적 분석은 비-립시츠 시스템을 위한 일반화된 평균 이론과 특수 섭동 이론을 사용하여 수행되었으며, 이는 이전 결과를 비연속 극값 탐색으로 확장한다.