[논문 리뷰] Flags of sheaves, quivers and symmetric polynomials

Giulio Bonelli, Nadir Fasola외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\ mathbb{P}^2$ 위의 프레임드 비영향성 없는 층의 패턴과 함께, 중첩 인스탄톤 퀘일의 안정적 표현의 모듈리 공간 사이의 이sov모르피즘을 확립하며, $\ mathbb{C}^2$ 위의 중첩 힐베르트 스킴과 고차원 랭크 층 모듈리 공간에 대한 ADHM 유사 구성을 제공한다. 등급수의 국소화를 통해 가상 위상수학적 불변량—특히 가상 $\ chi_{-y}$-생성함수—를 계산하였으며, 랭크 1의 경우 생성함수가 등급수의 가중치에 대해 수정된 맥도날드 다항식과 일치함을 보였다.

ABSTRACT

We study the representation theory of the nested instantons quiver presented in [1], which describes a particular class of surface defects in four-dimensional supersymmetric gauge theories. We show that the moduli space of its stable representations provides an ADHM-like construction for nested Hilbert schemes of points on $\mathbb C^2$, for rank one, and for the moduli space of flags of framed torsion-free sheaves on $\mathbb P^2$, for higher rank. We introduce a natural torus action on this moduli space and use equivariant localization to compute some of its (virtual) topological invariants, including the case of compact toric surfaces. We conjecture that the generating function of holomorphic Euler characteristics for rank one is given in terms of polynomials in the equivariant weights, which, for specific numerical types, coincide with (modified) Macdonald polynomials.

연구 동기 및 목표

• 중첩 인스탄톤 퀘일의 안정적 표현의 모듈리 공간과 $\ mathbb{P}^2$ 위의 프레임드 비영향성 없는 층의 패턴 사이의 기하학적 대응을 확립하기 위해.
• 중첩 힐베르트 스킴의 점들에 대한 ADHM 유사 구성을 $\ mathbb{C}^2$ 와 고차원 랭크 층 모듈리 공간에 대해 제공하기 위해.
• 등급수 국소화를 통해 가상 위상수학적 불변량—특히 가상 $\ chi_{-y}$-생성함수—를 토릭 표면에서 계산하기 위해.
• 랭크 1의 경우, 가상 오일러 특성의 생성함수가 대칭 다항식, 특히 수정된 맥도날드 다항식으로 표현될 수 있다는 추측을 내기 위해.

제안 방법

• 단일 프레임드 노드를 갖는 중첩 인스탄톤 퀘일의 안정적 표현의 모듈리 공간 $\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$ 을 구성하고, 자연스러운 $\mathbb{T} = T \times (\mathbb{C}^*)^r$ 토리 작용을 갖춘다.
• $\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$ 이 가상으로 스무스한 준사영 다양체이며, 완전한 장애 이론을 갖추고, 스무스 사영 다양체 $\mathcal{M}(r,\mathbb{n})$ 에 임베딩됨을 증명한다.
• $\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$ 과 $\mathbb{P}^2$ 위의 프레임드 비영향성 없는 층의 패턴의 모듈리 공간 $\mathcal{F}(r,\boldsymbol{\gamma})$ 사이의 이sov모르피즘을 수립하며, 랭크 1의 경우를 일반화한다: $\mathcal{N}(1,\mathbb{n}) \simeq \operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{C}^2)$.
• 등급수 국소화를 적용하여, $\mathbb{P}^2$ 와 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 와 같은 컴acts 토릭 표면에서 가상 불변량—특히 가상 $\ chi_{-y}$-생성함수와 타원형 생성함수—를 계산한다.
• 토릭 표면의 서로 다른 패치에서 등급수 매개변수 $\mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2$ 의 순차적 극한을 통해 가상 $\ chi_{-y}$-생성함수의 생성함수를 분석한다.
• 대칭 함수를 통해 생성함수의 명시적 표현을 유도하며, $|\mu_0|$, $M_0$, 및 스케일 슈어 함수 $s(\mu_i, \mu_j)$ 와 관련된 $y$-거듭제곱을 포함한다. 이는 맥도날드 다항식과의 추측되는 연결을 이끈다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중첩 인스탄톤 퀘일의 안정적 표현의 모듈리 공간은 $\ mathbb{P}^2$ 위의 프레임드 비영향성 없는 층의 패턴과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 이 퀘일 모듈리 공간을 통해 $\ mathbb{C}^2$ 위의 중첩 힐베르트 스킴에 대한 ADHM 유사 구성을 어떻게 형성할 수 있는가?
• RQ3 콤팩트 토릭 표면에서 모듈리 공간의 가상 불변량—특히 $\ chi_{-y}$-생성함수—의 구조는 어떠한가?
• RQ4 랭크 1의 경우, 가상 $\ chi_{-y}$-생성함수의 생성함수가 등급수 매개변수에서 수정된 맥도날드 다항식과 일치하는가?
• RQ5 다른 토릭 패치에서 매개변수 $\mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2$ 의 등급수 극한이 가상 불변량 계산에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 중첩 인스탄톤 퀘일의 안정적 표현의 모듈리 공간 $\mathcal{N}(1,\mathbb{n})$ 은 중첩 힐베르트 스킴 $\operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{C}^2)$ 와 이sov모르픽하며, 퀘일 표현과 힐베르트 스킴 사이의 직접적인 기하학적 연결을 확립한다.
• 랭크 1의 경우, $\operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{P}^2)$ 의 가상 $\ chi_{-y}$-생성함수는 분할에 대한 합의 곱으로 표현되며, $y$-거듭제곱은 $|\mu_0|$, $M_0$, 및 스케일 슈어 함수 $s(\mu_i, \mu_j)$ 에 따라 달라진다. 이는 식 (4.14)에 의해 나타난다.
• $\mathbb{P}^2$ 에서는 가상 $\ chi_{-y}$-생성함수는 네 개의 토릭 패치에 해당하는 네 항의 곱으로 주어지며, 극한을 통해 $y^{| u_0| - M_0}$ 및 $y^{| u_0| - | u_0 \setminus \nu_1|}$ 과 같은 $y$-거듭제곱이 유도된다. 식 (4.14)에 기재됨.
• $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 에서는 생성함수가 유사하게 네 개의 패치 기여도로 분해되며, 극한을 통해 $y^{| u_0| - M_0}$, $y^{| u_0|}$, 및 $y^{| u_0| - | u_0 \setminus \nu_1| + M_0}$ 과 같은 $y$-거듭제곱이 생성된다. 식 (4.19)에 기재됨.
• $\mathbb{P}^2$ 와 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 에서의 가상 $\ chi_{-y}$-생성함수는 모두 분할의 조합론과 스케일 슈어 함수에 연결된 $y$-지수를 포함하는 항의 곱으로 분해됨을 보였다.
• 저자들은 랭크 1의 경우, 가상 올레르 특성의 생성함수가 등급수 가중치에 대한 다항식이며, 특정 수치적 유형에서는 수정된 맥도날드 다항식으로 줄어든다는 추측을 내놓는다.