[논문 리뷰] Floer homology of Lagrangians in clean intersection

Felix Schmäschke|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 16.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 38인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 단조성(symplectic) 다양체 내에서 청결하게 만날 두 닫힌 라그랑주 부분다양체에 대해 모어스-보트 플로어 호모로지 이론을 개발한다. 행동 필터링과 상대 모스лов 지수를 기반으로 한 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 Z2 위에서 플로어 호모로지를 계산하고, HF∗(L0, L1)로 수렴하는 스펙트럴 시퀀스를 확립하며, 이는 심플렉틱 토폴로지에서 이동 가능성과 쌍대성 결과에 응용된다.

ABSTRACT

We consider Floer homology associated to a pair of closed Lagrangian submanifolds that satisfy a monotonicty assumption. If the Lagrangians intersect cleanly we decribe two spectral sequences which help to compute their Floer homology. The spectral sequences are constructed using a Morse-Bott version of Floer homology. We give a full treatment of the theory including orientations.

연구 동기 및 목표

• 청결하게 만날 두 라그랑주 부분다양체에 대해 단조성 심플렉틱 다양체 내에서 플로어 호모로지 이론을 개발한다.
• 그러한 쌍의 플로어 호모로지를 계산하는 두 개의 스펙트럴 시퀀스를 구성한다: 하나는 전역(global)이고, 다른 하나는 국소적(local)이다.
• 청결한 만남과 상대 스핀 구조의 맥락에서 방향성의 완전한 다루기를 제공한다.
• 전체 플로어 호모로지로 수렴하는 스펙트럴 시퀀스와 Z2 위에서 국소화된 버전으로 수렴하는 다른 스펙트럴 시퀀스를 확립한다.
• 그들의 만남 토폴로지와 모스лов 지수에 따라 라그랑주에 대한 이동 가능성과 쌍대성 결과를 도출한다.

제안 방법

• 경로 공간 P(L0, L1) 위에서 해밀토니안 행동 함수를 사용하여 모어스-보트 플로어 호모로지의 변형을 구성한다.
• 라그랑주 부분다양체 L0 ∩ L1의 연결 성분 Cj의 심플렉틱 면적 A(Cj)로 색인화된 행동 필터링을 도입한다.
• 각 성분 Cj에 대해 로빈-살라몬 지수 µ(Cj)를 정의하여 스펙트럴 시퀀스에서 등수를 할당한다.
• 첫 번째 페이지가 Z2 계수를 갖는 성분 Cj의 호모로지로 주어지고, µ(Cj)로 등수화된 국소 스펙트럴 시퀀스 Eloc,∗∗ 를 정의한다.
• 글루잉 이론과 코시-라만-플로어 연산자의 프레드홀름 이론을 적용하여 전이성과 컴actness를 확보한다.
• 상대 스핀 구조를 통해 방향성을 설정하고, 해밀토니안 이sov의에 대한 스펙트럴 시퀀스의 불변성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 라그랑주 부분다양체가 청결하게 만날 경우, 플로어 호모로지를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 청결한 만남의 경우 행동 필터링으로부터 유도되는 스펙트럴 시퀀스는 무엇이며, 전체 플로어 호모로지와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 청결하게 만날 때 라그랑주 플로어 호모로지가 비자명한 조건은 무엇이며, 이를 만족할 경우 어떤 위상적 제약 조건이 발생하는가?
• RQ4 만남 성분의 모스롭 지수와 심플렉틱 면적이 스펙트럴 시퀀스의 구조에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 단조성 설정에서 스펙트럴 시퀀스의 구조로부터 유도할 수 있는 이동 가능성과 쌍대성 결과는 무엇인가?

주요 결과

• 국소 플로어 호모로지 HFloc∗ 에 수렴하는 스펙트럴 시퀀스 Eloc,∗∗ 는 E1 페이지에서 각 만남 성분 Cj의 호모로지의 직합으로 주어지며, 이는 그들의 모스롭 지수 µ(Cj)로 등수화된다.
• 전체 플로어 호모로지 HF∗(L0, L1) 는 전역 스펙트럴 시퀀스 E∗∗ 의 E∞ 페이지에 대한 직합과 동형이다.
• 전역 스펙트럴 시퀀스는 E1∗∗ ≅ Z2[λ±1] ⊗ HFloc∗ 와 동치이며, deg λ = −N 이다. 이는 N ≥ 3 인 단조성 조건을 반영한다.
• L0 가 L1 로부터 이동 가능하고, 연결된 다양체 C 에서 청결하게 만날 경우, N ≤ dim C + 1 이다.
• 2N > dim C + 1 이면, 스펙트럴 시퀀스에서 유일하게 비자명한 미분은 ∂N 이며, 이로 인해 중심적인 차수 범위에서 Hk(C; Z2) ≅ Hk+N−1(C; Z2) 의 쌍대성 동형이 성립한다.
• 스펙트럴 시퀀스의 구조는 L0 가 주어진 위상적 제약 조건 하에서 이동 가능할 경우, HF∗(L0, L1) 가 영이 되어야 한다는 것을 증명한다.