[논문 리뷰] Fluid limit of a heavily loaded EDF queue with impatient customers

Laurent Decreusefond, Pascal Moyal|ArXiv.org|2005. 12. 30.

Advanced Queuing Theory AnalysisBusiness, Management and Accounting참고 문헌 8인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 잔여 시간 신용을 추적하는 측도값 과정을 통해 고도로 적재된 지연 우선순위(EDF) 대기열을 모델링하여, 인내심이 없는 고객이 있는 EDF 대기열의 유체 극한을 수립한다. 유체 극한은 통합 운반 방정식을 만족함을 보이며, 이는 정규화된 대기 중이거나 상실된 고객 수를 결정론적 유체 수준 과정을 통해 근사화할 수 있음을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we present the fluid limit of an heavily loaded Earliest Deadline First queue with impatient customers, represented by a measure-valued process keeping track of residual time-credits of lost and waiting customers. This fluid limit is the solution of an integrated transport equation. We then use this fluid limit to derive fluid approximations of the processes counting the number of waiting and already lost customers.

연구 동기 및 목표

• 고도로 적재된 EDF 대기열에서 고객이 마감일을 가지고 있으며, 시간 내에 서비스를 받지 못하면 이탈할 수 있는 경우의 유체 극한을 분석하기 위해.
• 대기 중이거나 상실된 고객의 잔여 시간 신용을 추적하는 측도값 과정을 사용하여 시스템을 모델링하기 위해.
• 고도로 적재된 상황에서 대기 중이거나 상실된 고객 수에 대한 결정론적 유체 근사를 유도하기 위해.
• 스토케스틱 대기열 과정과 그 유체 척도 극한 사이의 엄밀한 연결 고리를 운반 방정식을 통해 수립하기 위해.

제안 방법

• 각 고객을 잔여 시간 신용 위치에 단위 질량으로 나타내는 측도값 마코프 과정으로 시스템을 모델링하기 위해.
• 도착, 퇴출, 그리고 시간 신용이 단위 속도로 연속적으로 감소하는 것을 고려한 과정의 무한소 생성자 유도하기 위해.
• 시간 신용 감소로 인해 발생하는 공간 도함수 항을 분포적 미분법을 사용하여 엄밀히 정의하기 위해.
• 생성자로부터 유도된 통합 운반 방정식의 해로써 유체 극한을 수립하기 위해.
• 과정을 정규화하고, 측도의 함수 공간에서 약한 수렴을 통해 결정론적 유체 극한으로 수렴함을 증명하기 위해.
• 유체 극한을 사용하여 대기 중이거나 상실된 고객 수를 세는 정규화된 과정을 근사하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고도로 적재된 상황에서 인내심이 없는 고객이 있는 EDF 대기열의 유체 척도 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 잔여 시간 신용 과정은 연속적인 감소 메커니즘을 가진 측도값 마코프 과정으로 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ3 시스템의 평균 행동을 유체 척도에서 기술하는 한정 결정론적 방정식은 무엇인가?
• RQ4 유체 극한은 어떻게 대기 중이거나 상실된 고객 수를 근사하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 유체 극한은 M/GI/∞ 및 M/M/1 대기열에서의 알려진 결과와 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 인내심이 없는 고객이 있는 EDF 대기열의 유체 극한은 연속적인 시간 신용 감소로 인해 발생하는 공간 도함수 항을 포함하는 통합 운반 방정식의 해이다.
• 정규화된 대기 중 고객 수는 $\left(1 + (\lambda - \mu)t\right)^+ \mathbf{1}_{\left\{t \leq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}} + \lambda d \, \mathbf{1}_{\left\{t \geq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}}$ 로 주어지는 과정으로 유체적으로 수렴한다.
• 정규화된 상실 고객 수는 $\left(1 + \lambda(t - d) - \mu t\right)^+ \mathbf{1}_{\left\{t \geq \frac{\rho d - \mu^{-1}}{\rho - 1}\right\}}$ 로 주어지는 과정으로 유체적으로 수렴한다.
• 서비스 속도를 0으로 설정했을 때 유체 극한은 M/GI/∞ 시스템에 대한 알려진 결과를 회복하며, 이는 이전 연구와의 일관성을 확인한다.
• 유체 근사는 EDF 시스템에서 손실 확률 평가를 위한 수치 시뮬레이션의 간편한 결정론적 대체 수단을 제공한다.
• 이 방법은 일반적인 서비스 시간 분포로 확장 가능하며, 고도로 적재된 상황에서 성능 지표의 점근적 분석을 가능하게 한다.