[논문 리뷰] Formation of shocks for 2D isentropic compressible Euler

Tristan Buckmaster, Steve Shkoller외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 39인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 $\gamma > 1$인 2차원 등엔트로픽 압축성 오일러 방정식에 대해, 초기 데이터의 진폭이 $\mathcal{O}(1)$이고 최소 기울기가 $-1/\varepsilon$인 조건에서 유한 시간 $\mathcal{O}(\varepsilon)$ 내에 충격이 형성되는 부드럽고 유한 에너지의 해를 구성한다. 자기 유사성 변환과 변형된 변수를 사용하여, $C^{1/3}$ 허더 정규성과 비자명한 코어티시티를 가진 쐐기형 충격의 존재를 증명하며, 비압축성 흐름에 대한 소규모 변화를 피하기 위해 순수한 각운동파 동역학에 초점을 맞춘다.

ABSTRACT

We consider the 2D isentropic compressible Euler equations, with pressure law $p(ρ) = (\sfrac{1}γ) ρ^γ$, with $γ>1$. We provide an elementary constructive proof of shock formation from smooth initial datum of finite energy, with no vacuum regions, and with {nontrivial vorticity}. We prove that for initial data which has minimum slope $- {\sfrac{1}{ \eps}}$, for $ \eps>0$ taken sufficiently small relative to the $\OO(1)$ amplitude, there exist smooth solutions to the Euler equations which form a shock in time $\OO(\eps)$. The blowup time and location can be explicitly computed and solutions at the blowup time are of cusp-type, with Hölder $C^ {\sfrac{1}{3}}$ regularity. Our objective is the construction of solutions with inherent $\OO(1)$ vorticity at the shock. As such, rather than perturbing from an irrotational regime, we instead construct solutions with dynamics dominated by purely azimuthal wave motion. We consider homogenous solutions to the Euler equations and use Riemann-type variables to obtain a system of forced transport equations. Using a transformation to modulated self-similar variables and pointwise estimates for the ensuing system of transport equations, we show the global stability, in self-similar time, of a smooth blowup profile.

연구 동기 및 목표

• 초기 진폭이 $\mathcal{O}(1)$이고 최소 기울기가 $-1/\varepsilon$인 부드러운 초기 데이터를 구성하여, 이들이 유한 시간 내에 충격을 형성하도록 한다.
• 비압축성 흐름에 대한 소규모 변화 없이, 비자명한 코어티시티를 가진 2차원 등엔트로픽 압축성 오일러 방정식에서 충격 형성을 입증한다.
• 순수한 각운동파 운동에 의해 지배되는 해의 경우, 폭발 시간 $T_* = \mathcal{O}(\varepsilon)$와 위치를 명시적으로 계산한다.
• 변형된 자기 유사 변수와 점별 추정을 사용하여, 자기 유사 시간에서 부드러운 폭발 프로파일의 전역 안정성을 확립한다.
• 폭발 시각 $t = T_*$에서 충격 프로파일이 $C^{1/3}$ 정규성을 가지며 쐐기 형태로 나타나는 것을 특성화한다. 이는 $\mathcal{O}(1)$ 코어티시티가 존재하는 상황에서도 성립한다.

제안 방법

• 오일러 방정식의 동차 해를 사용하여, 동역학을 순수한 각운동파 운동에 의해 지배되는 영역으로 감소시킨다.
• 폭발 위치, 시간, 진폭을 동적으로 추적하기 위해 변형된 자기 유사 변수로의 변환을 수행한다.
• 변형된 각운동파 성분에 대해 강제 수송 방정식계를 리만 유형 변수에서 유도한다.
• 점별 추정을 적용하여 자기 유사 시간에서 폭발 프로파일의 전역 안정성을 증명한다.
• 레마 A.2에서의 감쇠 및 강제 프레임워크를 사용하여 해의 성장 제어 및 외부 영역에서의 폭발 방지를 한다.
• 자기 유사성 변환과 조정 함수를 통해 폭발 시간과 위치를 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 진폭이 $\mathcal{O}(1)$이고 비압축성 초기 데이터를 가진 2차원 등엔트로픽 압축성 오일러 방정식에서 충격 형성을 구성할 수 있는가?
• RQ2 초기 기울기가 $-1/\varepsilon$이고 진폭이 $\mathcal{O}(1)$인 해의 경우, 정확한 폭발 시간과 위치는 무엇인가?
• RQ3 폭발 시각에서 충격 프로파일의 정규성은 무엇이며, 이를 명시적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ4 조정 함수를 포함한 자기 유사 프레임워크는 어떻게 폭발 프로파일을 자기 유사 시간에서 전역적으로 안정화하는가?
• RQ5 충격 형성 기간 동안 동역학은 여전히 각운동파에 의해 지배되며, 반경 성분은 유한한가?

주요 결과

• 초기 기울기가 $-1/\varepsilon$인 해는 시간 $T_* = \mathcal{O}(\varepsilon)$에 충격을 형성하며, 폭발 시간과 위치를 명시적으로 계산할 수 있다.
• 시간 $t = T_*$에서 충격 프로파일은 $C^{1/3}$ 허더 정규성을 가지며, 쐐기형 특이성을 형성한다.
• 충격에서 해는 $\mathcal{O}(1)$의 코어티시티를 유지하며, 비압축성 충격 구성과는 뚜렷이 구별된다.
• 폭발은 자기 유사 시간에서 안정적이며, 변형된 자기 유사 변환 하에서 프로파일은 전역적으로 안정하다.
• $\gamma = 3$인 경우, 동역학은 버거스 방정식의 간단한 연구로 감소하여 충격 형성의 완전한 특성화가 가능하다.
• $T_*$ 이전에 다른 특이성이 형성되지 않으며, $t \to T_*$일 때 $|\nabla \rho|$와 $|\nabla u|$ 모두 발산한다.