[논문 리뷰] On smooth self similar solutions to the compressible Euler equations

Frank Merle, Pierre Raphaël외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 23.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 6인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 특정 비압축성 법칙과 임계 값에 수렴하는 양자화된 속도를 갖는 다항식 d > 1 차원에서 압축성 유체역학 방정식에 대해 부드럽고 C^∞인 자가유사 해의 존재를 확립한다. 관련 비선형 상미분방정식의 위상도를 분석하고 정규성 조건을 활용하여, 공간적 감쇠를 보이는 비일반적인 해를 구축함으로써, 후속 연구에서 비선형 슈뢰딩거 방정식 및 유체역학 방정식의 유한시간 폭발 분석에 필요한 선형화된 연산자의 제어를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the barotropic Euler equations in dimension d>1 with decaying density at spatial infinity. The phase portrait of the nonlinear ode governing the equation for spherically symmetric self-similar solutions has been introduced in the pioneering work of Guderley. It allows to construct global profiles of the self-similar problem, which however turn out to be generically non-smooth across the associated light (acoustic) cone. In a suitable range of barotropic laws and for a sequence of quantized speeds accumulating to a critical value, we prove the existence of non-generic C^\infty self-similar solutions with suitable decay at infinity. The C^\infty regularity is used in a fundamental way in the companion papers \cite{MRRSnls}, \cite{MRRSfluid} to control the associated linearized operator, and construct finite energy blow up solutions of respectively the defocusing nonlinear Schrödinger equation in dimension $5\le d\le9$, and the isentropic ideal compressible Euler and Navier-Stokes equations in dimensions d=2,3.

연구 동기 및 목표

• 압축성 Euler 방정식에 대해 다항식 d > 1 차원에서 부드럽고 C^∞인 자가유사 해를 구축하는 것.
• Guderley 유형 해에서 빛의 원추면을 가로질러서 일반적으로 부드럽지 않은 문제를 해결하기 위해, 정규성이 향상된 비일반적인 해의 집합을 식별하는 것.
• 초점이 맞춰진 에너지 폭발 해를 위한 선형화된 연산자의 제어를 가능하게 하는 기초를 마련하는 것.
• 특정 범위의 비압축성 법칙과 양자화된 속도에서 이러한 부드러운 해가 존재하는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 구형 대칭 자가유사 해를 지배하는 비선형 상미분방정식의 위상도 분석을 통해 Guderley의 프레임워크를 확장하는 것.
• 부드러움이 달성되는 임계 값에 수렴하는 이산적인 속도 집합을 식별하는 것.
• C^∞ 정규성을 적용하여 음향 원뿔을 가로질러도 해가 부드럽다는 것을 보장하는 것. 이는 일반적인 해와는 대조됨.
• 해의 무한대에서의 행동을 분석하기 위해 渐近적 분석 및 동역학계 기법을 적용하는 것.
• 특정 비압축성 법칙 하에서 무한대에서 감쇠 조건을 만족하는 전역 프로파일을 구축하는 것.
• 부드러움을 활용하여 후속 비선형 분석에서 선형화된 연산자의 제어를 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압축성 법칙과 속도에 어떤 조건이 성립할 경우 압축성 Euler 방정식에 부드러운 자가유사 해가 존재하는가?
• RQ2 일반적인 자가유사 해는 왜 빛의 원추면을 가로질러 부드럽지 않은가? 이 문제는 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ3 무한대에서 감쇠하는 C^∞인 비일반적인 해의 집합을 구성할 수 있는가?
• RQ4 임계 값에 가까운 속도의 양자화는 부드러운 해의 존재와 어떤 관련이 있는가?
• RQ5 C^∞ 정규성은 관련 방정식에서의 유한시간 폭발 해의 구축에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 압축성 Euler 방정식에서 임계 값에 수렴하는 속도의 수열에 대해 부드러운 C^∞ 자가유사 해가 존재한다.
• 이러한 해는 특정 비압축성 법칙 하에서 구축되며, 공간 무한대에서 감쇠를 보인다.
• 부드러움은 비일반적이며, 임계 값 근처의 이산적인 속도 집합에서만 발생한다.
• 이 해들은 일반적인 Guderley 유형 해와 달리 음향 원뿔을 가로질러도 전역적으로 정의되고 정규적이다.
• C^∞ 정규성이 선형화된 연산자의 제어를 가능하게 하여, 동반 연구에서 폭발 해를 구축하는 데 핵심적인 조건이 된다.
• 결과적으로, 비집속성 비선형 슈뢰딩거 방정식(5 ≤ d ≤ 9) 및 d = 2, 3 차원에서의 압축성 Euler/나비에-스토크스 방정식에서 유한 에너지 폭발 해를 구축하기 위한 기초 단계를 제공한다.