[논문 리뷰] Formulas for p-adic q-integrals including falling-rising factorials, combinatorial sums and special numbers

Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 22.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 내림계승계수와 오름계승계수, 이항계수에 대해 p-진 q적분(특히 Volkenborn 적분 및 p-진 페르미온 적분)을 적용하여 p-진 q적분을 포함하는 공식을 유도하는 새로운 프레임워크를 제시한다. 이 방법은 조합합과 특수수열(예: 베르누이, 오일러, 다이헤, 창헤이 수)의 새로운 및 기존의 항등식, 생성함수, 폐형표현을 도출하며, 이러한 적분과 그 관련 수열에 대한 수치적 계산 효율성을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to provide a novel approach to deriving formulas for the p-adic q-integral including the Volkenborn integral and the p-adic fermionic integral. By applying integral equations and these integral formulas to the falling factorials, the rising factorials and binomial coefficients, we derive some new and old identities and relations related to various combinatorial sums, well-known special numbers such as the Bernoulli and Euler numbers, the harmonic numbers, the Stirling numbers, the Lah numbers, the Harmonic numbers, the Fubini numbers, the Daehee numbers and the Changhee numbers. Applying these identities and formulas, we give some new combinatorial sums. Finally, by using integral equations, we derive generating functions for new families of special numbers and polynomials. We also give further comments and remarks on these functions, numbers and integral formulas.

연구 동기 및 목표

• p-진 q적분(특히 Volkenborn 적분 및 p-진 페르미온 적분 포함)을 다루는 공식 유도를 위한 통합적 접근법을 개발하기 위해.
• p-진 적분과 조합합, 내림계승계수 및 오름계승계수, 특수수열 간의 새로운 및 기존 항등식을 수립하기 위해.
• 적분 방정식과 그 관련 생성함수를 통해 새로운 특수수열 및 다항식의 가족을 생성하기 위해.
• 내림계승계수 다항식을 포함하는 p-진 적분에 대한 수치적 계산 효율성을 유도된 폐형표현을 통해 향상시키기 위해.

제안 방법

• p-진 q적분을 $ I_q(f(x)) = \int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_q(x) = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{[p^N]_q} \sum_{x=0}^{p^N-1} f(x) q^x $ 로 정의하며, $ q \in \mathbb{C}_p $, $ |1-q|_p < 1 $ 를 조건으로 한다.
• 내림계승계수 $ x_{(n)} $, 오름계승계수 $ x^{(n)} $, 이항계수에 적분 방정식을 적용하여 항등식을 도출한다.
• 클래식한 결과를 복원하기 위해 Volkenborn 적분($ q \to 1 $) 및 p-진 페르미온 적분($ q \to -1 $)을 극한 경우로 활용한다.
• 특수수열(예: 베르누이, 오일러, 다이헤이, 창헤이)의 생성함수를 적분 기반 생성함수 구성법을 통해 도출한다.
• 스털링수 $ S_1(n,k) $, $ S_2(n,k) $, 라흐 수를 포함한 기존 항등식과 적분 평가를 조합하여 새로운 조합합을 생산한다.
• 리만 적분 및 적분 항등식을 활용하여 베르누이수 및 카우치수를 포함하는 합의 폐형표현을 검증하고 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-진 q적분을 내림계승계수 및 오름계승계수에 체계적으로 적용하여 새로운 항등식을 도출할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 p-진 적분이 이항계수 및 계승계수 다항식에 적용되었을 때 나타나는 새로운 조합합과 관계는 무엇인가?
• RQ3 Volkenborn 적분 및 p-진 페르미온 적분은 베르누이수 및 오일러수와 같은 특수수열에 대한 기존 결과를 어떻게 통합하거나 일반화하는가?
• RQ4 이러한 특수수열 및 다항식을 포함하는 적분 방정식으로부터 생성할 수 있는 생성함수는 무엇인가?
• RQ5 스털링수를 활용한 p-진 적분 기법을 통해 베르누이수를 포함하는 합에 대한 폐형표현을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 내림계승계수 항등식의 Volkenborn 적분을 통해 항등식 $ \sum_{k=0}^{n} n_{(n-k)} \frac{k!}{k^2 + 3k + 2} = \frac{(n-1)!}{n+1} $ 이 도출된다.
• Volkenborn 적분과 생성항등식을 사용하여 공식 $ \sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{[\frac{n-j}{2}]} \binom{n}{j} S_{12}(n-j,k) B_{k+j} = (-1)^n \frac{n!}{n+1} $ 이 증명된다.
• 1차 스탈링수를 포함하는 이항계수 항등식에 Volkenborn 적분을 적용하여 항등식 $ \sum_{j=0}^{n} S_1(n,k) B_k = \frac{(-1)^n n!}{n+1} $ 가 확립된다.
• 내림계승계수에 대한 단항식 전개의 수정형에 Volkenborn 적분을 적용하여 공식 $ B_n = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \frac{k!}{k+1} S_2(n,k) $ 가 도출된다.
• 베르누이수를 Daehee 수와 스탈링수 제2종을 통해 직접 연결하는 관계 $ B_n = \sum_{k=0}^{n-1} D_k S_2(n,k) $ 가 도출된다.
• 리만 적분 및 p-진 적분 기법을 활용하여 1차 카우치수의 새로운 표현으로 항등식 $ \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{k+1} S_1(n,k) = b_n(0) $ 가 도출된다.