[논문 리뷰] p-adic l-functions and sums of powers

T. Kim|ArXiv.org|2006. 05. 27.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 18인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $ p $-진 $ L $-함수와 관련된 오일러 수의 값으로 구성된 계수를 가진 $ n $ 에 대한 멱급수로 표현되는, $ \sum_{\substack{j=1\\(j,p)=1}}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ 의 명시적 $ p $-진 전개를 유도한다. 핵심 결과는 $ l_p(r+k, w^{-k-r}) $ 를 통해 합을 표현함으로써, 오일러 수와 딜라이클 캐릭터를 통한 거듭제곱의 교대합에 대한 $ p $-진 보간을 제공한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give the explicit formulae of p-adic l-functions and sums of powers which are related to Euler numbers.

연구 동기 및 목표

• 비교적 교대하지 않는 합에 대한 워싱턴의 공식을 $ p $ 모듈로의 거듭제곱의 교대합으로 확장하기 위해.
• 역제곱의 교대합을 이용하여 오일러 수에 대한 $ p $-진 $ L $-함수를 구성하기 위해.
• 짝수 $ n $ 과 홀수 소수 $ p $ 에 대해 $ \sum_{\substack{j=1\\(j,p)=1}}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ 에 대한 명시적 $ n $ 에 대한 멱급수 전개를 유도하기 위해.
• 생성함수와 캐릭터 합을 통한 오일러 제타함수, 일반화된 베르누이 수, $ p $-진 $ L $-함수 사이의 연결 고리를 확립하기 위해.

제안 방법

• 오일러 다항식의 생성함수 $ \frac{2}{e^t + 1} e^{xt} $ 를 사용하여 오일러 제타함수 $ \zeta_E(s,x) = 2 \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l}{(l+x)^s} $ 를 정의한다.
• $ p $-진 보간을 통해 $ H(-n, a|F) = (-1)^a \frac{F^n}{2} E_n(\frac{a}{F}) $ 를 정의함으로써 $ p $-진 $ L $-함수 $ l_p(s, \chi) $ 를 정의하며, 이를 오일러 수와 연결한다.
• 이중 합으로 표현된 교대합 $ \sum_{j=1, (j,p)=1}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ 에 대해, $ (a + Fl)^{-r} $ 의 이항 전개를 사용한다.
• 짝수 $ n $ 에 대해 $ \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l l^m = \frac{(-1)^{n+1}}{2} \sum_{l=0}^{m-1} E_l n^{m-l} \binom{m}{l} $ 라는 항등식을 적용하여 거듭제곱 합을 오일러 수와 연결한다.
• 유도된 급수를 $ H(s,a|F) $ 의 표현식에 대입함으로써, $ (pn)^k $ 에 대한 급수로 전환하며, 계수로 $ l_p(r+k, w^{-k-r}) $ 가 포함된다.
• 최종 멱급수 표현을 단순화하기 위해 항등식 $ \frac{r}{r+k} \binom{-r-1}{k} = \binom{-r}{k} \frac{r}{r+k} $ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 $ p $ 와 서로소인 정수의 역수의 거듭제곱에 대한 교대합은 어떻게 $ n $ 에 대한 $ p $-진 멱급수로 표현될 수 있는가?
• RQ2 $ p $-진 $ L $-함수 $ l_p(s, \chi) $ 는 오일러 수와 관련된 거듭제곱의 교대합을 보간하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 오일러 다항식의 생성함수는 딜라이클 캐릭터에 대한 $ p $-진 $ L $-함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 워싱턴의 비교적 교대하지 않는 합 공식은 $ p $-진 방법을 통해 교대합으로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 $ \sum_{\substack{j=1\\(j,p)=1}}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ 의 $ p $-진 전개에서 계수의 명시적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 교대합 $ 2\sum_{\substack{j=1\\(j,p)=1}}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ 는 $ n $ 에 대한 멱급수로 표현되며, $ -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{r}{r+k} \binom{-r-1}{k} (pn)^k l_p(r+k, w^{-k-r}) $ 로 주어진다. 이는 짝수 $ n $ 과 홀수 소수 $ p $ 에 대해 유효하다.
• 전개의 계수는 $ s = r+k $, $ \chi = w^{-k-r} $ 에서 평가된 $ p $-진 $ L $-함수 $ l_p(s, \chi) $ 의 값이며, $ w $ 는 테이히뮐러 캐릭터이다.
• 모든 $ r \in \mathbb{N} $ 에 대해 합은 $ n $ 에 대해 $ p $-진 해석적임을 보이며, 이는 이항 계수와 $ l_p $-값의 $ p $-진 수렴성에 의해 보장된다.
• 유도 과정은 짝수 $ n $ 에서 $ \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l l^m = -\frac{1}{2} \sum_{l=0}^{m-1} E_l n^{m-l} \binom{m}{l} $ 라는 항등식에 의존하며, 이는 거듭제곱 합을 오일러 수와 연결한다.
• 논문은 $ (-1)^j $ 를 도입하고 $ w $-왜곡 캐릭터를 사용함으로써 워싱턴의 비교적 교대하지 않는 합 공식을 교대 경우로 일반화한다.
• 최종 공식은 $ l_p(r+k, w^{-k-r}) $ 를 통한 거듭제곱의 교대합에 대한 $ p $-진 보간을 확립하며, 오일러 수의 맥락에서 $ p $-진 $ L $-함수 이론을 확장한다.