[논문 리뷰] Fourier-based quantum signal processing

Thais de Lima Silva, Lucas R. Borges외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정된 시간 단위 유니터리 진동 오ракูล $e^{-iHt}$ 를 활용하여 히르미트 연산자의 임의의 유한 푸리에 급수를 단일 보조 큐비트만을 사용하여 실현하는 새로운 푸리에 기반 양자 신호 처리 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 양자 알고리즘의 효율성과 실험적 구현 가능성 측면에서 이전의 블록 인코딩 접근 방식보다 스케일러비리티와 우수한 성능을 보이며, 행렬 역행렬화와 해밀토니안 진동과 같은 연산자 함수를 후보 선택 기반으로 효율적으로 실현할 수 있다. 이로 인해 큐비트 오버헤드가 감소하고 큐비트라이제이션 과정이 필요 없어진다.

ABSTRACT

Implementing general functions of operators is a powerful tool in quantum computation. It can be used as the basis for a variety of quantum algorithms including matrix inversion, real and imaginary-time evolution, and matrix powers. Quantum signal processing is the state of the art for this aim, assuming that the operator to be transformed is given as a block of a unitary matrix acting on an enlarged Hilbert space. Here we present an algorithm for Hermitian-operator function design from an oracle given by the unitary evolution with respect to that operator at a fixed time. Our algorithm implements a Fourier approximation of the target function based on the iteration of a basic sequence of single-qubit gates, for which we prove the expressibility. In addition, we present an efficient classical algorithm for calculating its parameters from the Fourier series coefficients. Our algorithm uses only one qubit ancilla regardless the degree of the approximating series. This contrasts with previous proposals, which required an ancillary register of size growing with the expansion degree. Our methods are compatible with Trotterised Hamiltonian simulations schemes and hybrid digital-analog approaches.

연구 동기 및 목표

• 히르미트 연산자의 임의의 유한 푸리에 급수를 실현하기 위한 확장 가능한 양자 신호 처리 방법을 개발하는 것.
• 이전의 로그 스케일링 보조 큐비트 요구량을 단일 큐비트로 감소시켜 실험적 구현 가능성을 향상시키는 것.
• 이전의 QSVT 기반 접근 방식에서 비용이 많이 드는 큐비트라이제이션 단계가 필요 없도록 하는 것.
• 푸리에 계수에서 회전 각도를 계산하기 위한 효율적인 고전 알고리즘을 제공하는 것.
• 디지털 및 하이브리드 디지털-아날로그 양자 플랫폼 모두에서 실용적으로 구현 가능하도록 하는 것.

제안 방법

• 고정된 조절 가능한 시간 $t$ 를 가진 유니터리 진동 오라클 $e^{-iHt}$ 를 양자 자원으로 사용하여 블록 인코딩 오라클을 대체한다.
• 목표 푸리에 급수를 SU(2) 변환의 행렬 요소로 실현하기 위해, 오라클 호출 사이에 단일 보조 큐비트에 대한 단일 큐비트 회전을 순차적으로 적용한다.
• 비용이 많이 드는 최적화를 피하기 위해, 푸리에 급수 계수에서 유도된 효율적인 고전 알고리즘을 통해 회전 각도를 계산한다.
• 조절 가능한 단계 이동 $\Lambda$ 와 시간 $t$ 를 사용하여 $H$ 의 고유값 스펙트럼을 푸리에 급수의 수렴 구간으로 매핑한다.
• 모든 정규화된 유한 푸리에 급수는 이 펄스 시퀀스를 통해 실현될 수 있음을 엄밀히 증명하며, 이는 이전의 대칭 제한 급수 결과를 일반화한다.
• 보조 큐비트에 대한 후보 선택을 통해 전체 유니터리 행렬의 블록으로서 원하는 연산자 함수 $f[H]$ 를 준비한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히르미트 연산자의 푸리에 급수는 전개 차수에 관계없이 단일 보조 큐비트만으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 푸리에 계수에서 유도된 분석적 방법으로 펄스 시퀀스의 회전 각도를 계산할 수 있는가? 이는 변량 최적화를 피할 수 있는가?
• RQ3 해밀토니안 $H$ 의 고유값 범위를 어떻게 푸리에 급수의 수렴 구간으로 매핑하여 기브스 현상 제어를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 최적의 푸리에 근사치를 찾는 데 필요한 고전 서브루틴의 계산 비용과 정확도는 어떠한가?
• RQ5 이 방법은 트로터화된 해밀토니안 시뮬레이션과 하이브리드 디지털-아날로그 아키텍처와 호환되는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 푸리에 급수의 차수에 관계없이 항상 단일 보조 큐비트만을 필요로 하여 자원 오버헤드를 크게 감소시킨다.
• 비용이 많이 드는 파rameter 최적화 없이도, 푸리에 계수에서 직접적으로 회전 각도를 계산하는 효율적인 고전 알고리즘이 존재한다.
• 단일 큐비트 펄스 시퀀스를 통해 어떤 정규화된 유한 푸리에 급수의 $\varepsilon$-블록 인코딩도 실현 가능하다.
• $t$ 와 $\Lambda$ 를 조절하여 $H$ 의 고유값 범위를 푸리에 급수의 수렴 구간으로 매핑할 수 있어 근사 오차와 기브스 현상 제어가 가능하다.
• 푸리에 근사에 대해 두 가지 고전 서브루틴을 제공한다: 오차 한계가 보장되지만 계산 비용이 높은 것과 渐진 수렴 특성과 높은 후보 선택 확률을 가진 것.
• 이 방법은 트로터화된 해밀토니안 시뮬레이션과 하이브리드 디지털-아날로그 양자 아키텍처와 호환되어 실용적 의미가 높다.