[논문 리뷰] Fourier transforms from strongly complementary observables

Stefano Gogioso, William J. Zeng|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 강한 보완 관측가들—단정 대칭 모나드 카테고리 내의 호프 대수—로부터 유도된 양자 푸리에 변환의 범주론적 기반을 수립한다. 이는 푸리에 변환을 임의의 반환과 비아벨 군으로 일반화하며, 유한 차원 힐버트 공간에서 폰트리아긴 쌍대성과 젤파운드-나이마르 정리가 특수한 경우로 복원되는 범주적 동형을 증명한다.

ABSTRACT

Ongoing work in quantum information emphasises the need for a structural understanding of quantum speedups: in this work, we focus on the quantum Fourier transform and the structures in quantum theory that enable it. We elucidate a general connection in any process theory between the Fourier transform and strongly complementary observables, i.e. Hopf algebras in dagger symmetric monoidal categories. We generalise the necessary tools of representation theory from fdHilb to arbitrary dagger symmetric monoidal categories. We define groups, characters and representations, and we prove their relation to strong complementarity. The Fourier transform is then defined in terms of pairs of strongly complementary observables, in both the abelian and non-abelian case. In the abelian case, we draw the connection with Pontryagin duality and provide categorical proofs of the Fourier Inversion Theorem, the Convolution Theory, and Pontryagin duality. Our work finds application in the novel characterisation of the Fourier transform for the category fRel of finite sets and relations. This is a result of interest for the study of categorical quantum algorithms, as the usual construction of the quantum Fourier transform in terms of Fourier matrices is shown to fail in fRel. Despite this, the process theoretic perspective on the Fourier transform is sensible in this setting. Furthermore, our categorical setting provides a generalisation of the abelian Fourier transform from finite-dimensional Hilbert spaces to finite-dimensional modules over arbitrary semirings, as well as a further generalisation to finite non-abelian groups, including a fully categorical generalisation of the Gelfand-Naimark theorem.

연구 동기 및 목표

• 양자 가속화, 특히 양자 푸리에 변환의 구조적이고 과정론적인 이해를 제공하기 위해.
• 유한 차원 힐버트 공간을 초월하여 임의의 단정 대칭 모나드 카테고리로 푸리에 변환을 일반화하기 위해.
• 이 추상적 맥락에서 군, 특성, 표현을 범주론적으로 정의하기 위해.
• 푸리에 변환이 강한 보완 관측가의 쌍으로 자연스럽게 유도된다는 것을 보여주기 위해.
• 폰트리아긴 쌍대성과 젤파운드-나이마르 정리와 같은 알려진 결과들이 fdHilb에서 특수한 경우로 복원된다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 과정 이론의 일반적 프레임워크로 단정 대칭 모나드 카테고리(†-SMCs)를 사용한다.
• 임의의 †-SMCs에서 군, 특성, 표현을 정의하여 fdHilb의 표현 이론을 일반화한다.
• 강한 보완 관측가를 호프 대수로 정의하여 양자 관측가의 대수적 구조를 코딩한다.
• 컨볼루션 대수와 점별 조합 대수 사이의 표준 동형으로서 푸리에 변환을 도출한다.
• 강화된 폰트리아긴 쌍대성과 컨볼루션 정리를 적용하여 C*-대수의 동형을 증명한다.
• 표준 푸리에 행렬이 실패하는 반면 과정론적 접근이 성공하는 Rel(집합과 관계)에서 구성 과정을 시연한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측가의 구조적 성질로부터 매트릭스 구성이 아닌 방식으로 양자 푸리에 변환을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 과정 이론에서 푸리에 변환이 대수의 동형으로서 보장되기 위한 범주론적 조건은 무엇인가?
• RQ3 강한 보완 관측가가 추상 카테고리에서 폰트리아긴 쌍대성과 젤파운드-나이마르 정리와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 표준 매트릭스 기반 구성이 실패하는 카테고리인 Rel과 같은 곳에서 푸리에 변환을 의미 있게 정의할 수 있는가?
• RQ5 복소수 대신 임의의 반환에서 작업할 경우 푸리에 변환의 일반화는 어떻게 도출되는가?

주요 결과

• 푸리에 변환은 L2[G] 위의 컨볼루션 대수와 표현 또는 특성 위의 점별 조합 대수 사이의 C*-대수 동형으로서 체계적으로 정의된다.
• 아벨 경우에서 푸리에 변환은 L2[G]와 L2[G∧] 사이의 C*-대수 동형으로서, 범주론적으로 폰트리아긴 쌍대성을 복원한다.
• 비아벨 군의 경우, 푸리에 변환은 L2[G] 위의 컨볼루션 대수와 무한히 유니터리 표현 위의 점별 조합 대수의 부분대수 사이의 동형이다.
• 이 구성은 임의의 반환에 대한 유한 차원 모듈로 일반화되어 아벨 푸리에 변환을 복소 힐버트 공간을 초월해 확장한다.
• Rel에서 표준 푸리에 행렬이 실패하더라도 과정론적 접근을 통해 푸리에 변환이 잘 정의된다.
• 표현이 항등원의 분해를 이루는 경우 fdHilb에서 젤파운드-나이마르 정리가 특수한 경우로 복원되며, 이는 반환 위의 자유 모듈로 일반화된다.