[논문 리뷰] FPT Inapproximability of Directed Cut and Connectivity Problems

Rajesh Chitnis, Andreas Emil Feldmann|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Gap-ETH와 같은 더 강력한 가정 하에서 갭 유도 감소를 통해 핵심 방향 컷 및 연결성 문제인 DIRECTED MULTICUT, DSNPLANAR, SCSSPLANAR에 대해 날카운 FPT 근사 불가능성 경계를 확립한다. 표준 파ameterization 하에서도 k의 값이 작을 때조차도 이러한 문제들에 대한 FPT 근사 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하며, DIRECTED MULTICUT에 대해선 2-근사 알고리즘을 제안하고, (59/58 − ε)-근사가 FPT 시간 내에 불가능함을 보여, 기존 알고리즘과 근사 불가능성 결과 사이의 격차를 완전히 메운다.

ABSTRACT

(see paper for full abstract) Cut problems and connectivity problems on digraphs are two well-studied classes of problems from the viewpoint of parameterized complexity. After a series of papers over the last decade, we now have (almost) tight bounds for the running time of several standard variants of these problems parameterized by two parameters: the number $k$ of terminals and the size $p$ of the solution. When there is evidence of FPT intractability, then the next natural alternative is to consider FPT approximations. In this paper, we show two types of results for several directed cut and connectivity problems, building on existing results from the literature: first is to circumvent the hardness results for these problems by designing FPT approximation algorithms, or alternatively strengthen the existing hardness results by creating "gap-instances" under stronger hypotheses such as the (Gap-)Exponential Time Hypothesis (ETH).

연구 동기 및 목표

• 강력한 매개변수 기반 복잡도 이론 가정 하에서 기본적인 방향 컷 및 연결성 문제의 FPT 근사 가능성 문제를 해결하기 위해.
• DIRECTED MULTICUT, DSNPLANAR, SCSSPLANAR에 대해 기존의 FPT 근사 알고리즘과 근사 불가능성 결과 사이의 격차를 메우기 위해.
• Gap-ETH 하에서 조차도 k가 작을 경우(예: k = 4) 이러한 문제들에 대한 FPT 근사가 존재하지 않음을 보여주기 위해.
• 해결책이 최적의 평면 해보다 더 비쌀 수 없도록 제한하는 중간 문제 변형(DSNPLANAR 및 SCSSPLANAR)을 도입하기 위해.
• Gap-ETH나 ETH 기반의 갭 인스턴스를 구성하여 DSNPLANAR에 대해 (2−ε)-근사가 FPT 시간 내에 불가능함을, SCSSPLANAR에 대해선 (1+ε)-근사가 초지수적 FPT 시간 내에 불가능함을 강화하기 위해.

제안 방법

• 정확한 간선 가중치 할당을 갖는 기반 기반의 그래프 구성 기법을 사용하여 (ℓ,n)-GRID TILING 문제에서 SCSSPLANAR로의 매개변수 기반 감소를 구축한다.
• 변수 선택을 인코딩하고 빨간색 및 오ран지색 간선을 통한 일致성 강제를 위해 주요 기반, 수직 보조 기반, 수평 보조 기반을 설계한다.
• 비용 최소 해석 분석을 통해 최적 해가 반드시 유효한 격자 타일링의 비용과 정확히 일치해야 함을 증명함으로써 해의 구조와 문제 인스턴스의 타당성 간의 연결 고리를 확립한다.
• Gap-ETH 가정을 적용하여, k = 4일지라도 DIRECTED MULTICUT에 대해 (59/58 − ε)-근사가 f(p)·nO(1) 시간 내에 불가능함을 보여준다.
• ETH를 사용하여, 모든 계산 가능한 f에 대해 f(k,p,ε)·no(√(k+p+1/ε)) 시간 내에 SCSSPLANAR에 대한 (1+ε)-근사가 불가능함을 규명한다.
• 2O(p²)·nO(1) 시간 내에 실행되는 DIRECTED MULTICUT에 대한 2-근사 알고리즘을 확립하며, 이는 기존에 알려진 최고의 근사 비율과 정확히 일치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DIRECTED MULTICUT가 해의 크기 p와 터미널 쌍의 수 k로 매개변수화되었을 때, FPT 근사 알고리즘이 W[1]-난이도를 우회할 수 있는가?
• RQ2 DSNPLANAR에 대해 Gap-ETH 하에서 (2−ε)-근사가 FPT 시간 내에 가능할까? (이 문제는 k+p로 매개변수화했을 때 W[1]-난이도임을 고려할 때)
• RQ3 SCSSPLANAR는 k+p로 매개변수화했을 때 W[1]-난이도이지만, ETH 하에서 FPT 시간 내에 (1+ε)-근사가 가능할까?
• RQ4 FPT 시간 내에 달성 가능한 DIRECTED MULTICUT의 가장 날카운 근사 비율은 무엇이며, 이는 2를 초월해 향상될 수 있는가?
• RQ5 Gap-ETH나 ETH 기반의 갭 인스턴스 유도 감소는 DSNPLANAR 및 SCSSPLANAR에 대해 이전에 알려진 바보다 더 강력한 근사 불가능성 결과를 도출하는가?

주요 결과

• DIRECTED MULTICUT는 2O(p²)·nO(1) 시간 내에 k/2-근사를 제공하며, k = 4일 경우 2-근사가 된다.
• Gap-ETH 하에서, k = 4일지라도 어떤 계산 가능한 함수 f에 대해서도 f(p)·nO(1) 시간 내에 DIRECTED MULTICUT에 대한 (59/58 − ε)-근사가 존재하지 않음이 입증된다.
• DSNPLANAR는 Gap-ETH 하에서 k로 매개변수화된 FPT 시간 내에 (2−ε)-근사가 존재하지 않으며, 이는 Chitnis 등(ESA 2018)이 제기한 질문에 대한 否정적 답변을 제공한다.
• DSNPLANAR는 k + p로 매개변수화했을 때 W[1]-난이도이며, ETH 하에서 모든 계산 가능한 f에 대해 f(k,p,ε)·no(k+√p+1/ε) 시간 내에 (1+ε)-근사가 존재하지 않음이 입증된다.
• SCSSPLANAR는 k + p로 매개변수화했을 때 W[1]-난이도이며, ETH 하에서 모든 계산 가능한 f에 대해 f(k,p,ε)·no(√(k+p+1/ε)) 시간 내에 (1+ε)-근사가 존재하지 않음이 입증된다.
• 이 논문은 SCSSPLANAR 및 DSNPLANAR에 대해 날카운 FPT 근사 불가능성 경계를 확립하며, 표준 가정 하에서 조차도 상수 요인 근사조차 FPT 시간 내에 불가능함을 보여준다.