[논문 리뷰] Fractional Differential Equations Involving Caputo Fractional Derivative with Mittag-Leffler Non-Singular Kernel: Comparison Principles and Applications

Mohammed Al-Refai|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 10.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Caputo 분수형 도함수와 Mittag-Leffler 비특이 핵을 갖는 분수형 미분방정식에 대한 비교 원칙과 존재 조건을 수립한다. 극값에서 분수도함수의 새로운 추정치를 도출함으로써, 저자들은 선형 및 비선형 방정식에 대해 유일성, 노름 상한, 하한/상한 해를 증명하며, 비교 기법과 Mittag-Leffler 함수를 이용한 적분 표현을 통해 해의 엄밀한 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we study linear and nonlinear fractional differential equations involving the Caputo fractional derivative with Mittag-Leffler non-singular kernel of order $0

연구 동기 및 목표

• Caputo 도함수와 Mittag-Leffler 비특이 핵을 갖는 선형 분수형 미분방정식에 대한 비교 원칙을 개발한다.
• 선형 분수형 초기값 문제의 해 존재를 위한 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• 비선형 분수형 미분방정식의 해에 대한 유일성과 노름 상한을 수립한다.
• 선형 방정식과의 비교를 통해 해에 대한 하한 및 상한을 제공한다.
• 지수적 및 비선형 소스 항을 포함한 해를 보여주는 예시를 통해 이론적 결과의 적용 가능성을 시연한다.

제안 방법

• 부분적분과 Mittag-Leffler 함수의 성질을 이용하여 함수의 최대 및 최소점에서 Caputo 분수도함수에 대한 새로운 추정치를 유도한다.
• 유도된 추정치를 적용하여 선형 분수형 방정식에 대한 비교 원칙을 증명하며, 한 해가 초기점에서 다른 해를 지배한다면, 그 지배 관계가 시간이 지나도 유지됨을 보장한다.
• 비교 원칙을 활용하여 선형 분수형 방정식의 해에 대한 노름 상한을 도출하며, 핵의 부호와 Mittag-Leffler 함수의 단조성에 기반한다.
• Mittag-Leffler 함수를 포함하는 일반화된 적분 연산자와 거듭제곱 함수와의 콘볼루션을 이용하여 선형 분수형 방정식의 닫힌 형태 해를 구성한다.
• 중간값 정리와 비교 기법을 비선형 방정식에 적용하여, 비선형 항에 립시츠 유형 조건이 만족될 경우 유일성을 확보한다.
• 선형 우항을 갖는 경계 함수를 구성하여, 도함수 연산자의 부호와 해의 단조성에 기반하여 비선형 방정식의 해에 대한 상한 및 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수의 최대 또는 최소점에서 Mittag-Leffler 핵을 갖는 Caputo 분수도함수의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 이 도함수를 갖는 선형 분수형 미분방정식이 어떤 조건에서 해를 갖는가?
• RQ3 이러한 분수형 방정식에 대해 해의 순서와 상한을 유추하기 위해 비교 원칙을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ4 이러한 유형의 비선형 분수형 미분방정식의 해가 유일해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 비선형 분수형 초기값 문제의 해에 대해 상한 및 하한을 어떻게 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 추정치는 함수의 초기점 값이 최대값보다 작거나 같을 경우, Mittag-Leffler 핵을 갖는 Caputo 분수도함수가 최대점에서 음이 아닌 값을 갖는다는 것을 보여준다.
• 선형 분수형 방정식의 해 존재를 위한 필수 조건이 유도되었으며, 이는 초기 조건이 Mittag-Leffler 함수와 정규화 함수 B(α)를 포함한 특정 관계를 만족해야 한다는 것을 요구한다.
• 비교 원칙이 수립되었다: 한 해의 초기 값이 다른 해를 지배한다면, 우항이 선형 유계 조건을 만족할 경우 그 지배 관계가 시간이 지나도 유지된다.
• 비선형 항에 립시츠 조건이 만족될 경우, 비교 원칙과 도함수 연산자의 부호 분석을 통해 비선형 분수형 방정식의 해에 대한 유일성이 증명된다.
• 상수 계수를 갖는 선형 방정식의 해와의 비교를 통해 비선형 방정식의 해에 대한 하한 및 상한이 도출되었으며, 이는 Mittag-Leffler 함수와 콘볼루션 적분의 형태로 명시적인 상한을 제공한다.
• 선형 경우에서 해의 노름은 강제항의 노름으로 상한이 주어지며, 이 상한은 매개수 α와 B(α)에 따라 달라진다. 예제 4.2에서 ||u|| ≤ 1임을 보여준다.