[논문 리뷰] Fractional-Order Structural Stability: Formulation and Application to the Critical Load of Slender Structures

Sai Sidhardh, Sansit Patnaik외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 15.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 47인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 공간 분수계 파라미터를 사용하여 장거리 상호작용을 모델링하는 분수계 연속체 프레임워크를 제안하여 비국소 고체의 구조적 안정성 분석을 수행한다. 열역학적으로 일관된 에너지 기반 안정성 기준을 유도하고, 비국소 효과가 재료 강성과 기하학적 강성 둘 다를 감소시켜 고전적 비국소 모델이 한쪽 강성 항만 영향을 주는 것보다 더 정확한 임계 버킹 하중 예측을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This study presents the framework to perform a stability analysis of nonlocal solids whose response is formulated according to the fractional-order continuum theory. In this formulation, space fractional-order operators are used to capture the nonlocal response of the medium by introducing nonlocal kinematic relations. First, we use the geometrically nonlinear fractional-order kinematic relations within an energy-based approach to establish the Lagrange-Dirichlet stability criteria for fractional-order nonlocal structures. This energy-based approach to nonlocal structural stability is possible due to a positive-definite and thermodynamically consistent definition of deformation energy enabled by the fractional-order kinematic formulation. Then, the Rayleigh-Ritz coefficient for the critical load is derived for linear buckling conditions. The fractional-order formulation is finally used to determine critical buckling loads of slender nonlocal beams and plates using a dedicated fractional-order finite element solver. Results establish that, in contrast to existing studies, the effect of nonlocal interactions is observed on both the material and the geometric stiffness, when using the fractional-order kinematics approach. We support these observations quantitatively with the help of case studies focusing on the critical buckling response of fractional-order nonlocal slender structures, and qualitatively via direct comparison of the fractional-order approach with the classical nonlocal approaches.

연구 동기 및 목표

• 분수계 연속체 이론을 사용하여 비국소 고체에 대한 열역학적으로 일관되고 에너지 기반의 안정성 분석 프레임워크를 개발하는 것.
• 특히 안정성 분석에서 문제가 되는 고전적 비국소 탄성 모델의 한계, 즉 정의되지 않은 문제와 열역학적 일관성 결여를 해결하는 것.
• 비국소 효과가 재료 강성과 기하학적 강성 양쪽에 영향을 주므로, 만만한 구조물의 임계 버킹 하중을 정확하게 예측할 수 있도록 하는 것.
• 비국소 비틀림과 비틀림을 포함한 빔과 플레이트에 대한 사례 연구를 통해 분수계 모델이 고전적 적분 및 미분 비국소 모델보다 뛰어나다는 것을 입증하는 것.

제안 방법

• 공간 분수계 도함수를 사용하여 비국소 상호작용을 모델링하는 기하학적으로 비선형인 분수계 운동학적 관계를 수립한다.
• 에너지 기반 안정성 기준을 설정하기 위해 라그랑주-디리클레 정리를 적용한다.
• 분수계 수식을 사용하여 선형 버킹 조건 하에서 임계 버킹 하중에 대한 레일리-리츠 표현식을 유도한다.
• 빔과 플레이트의 고유값 문제를 수치적으로 해결하기 위해 분수계 유한요소 해석기법을 개발한다.
• 분수계 운동학에서 유도된 정정의 변형 에너지 밀도를 사용하여 열역학적 일관성을 확보한다.
• 고전적 비국소 모델(Eringen의 적분 및 미분 형식)과의 비교를 통해 강성 수정 방식의 차이를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계 미분을 사용하여 비국소 고체에 대해 열역학적으로 일관된 에너지 기반 안정성 분석을 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 분수계 모델은 고전적 비국소 모델과 비교하여 재료 강성과 기하학적 강성 둘 다를 어떻게 수정하는가?
• RQ3 재료 강성과 기하학적 강성 둘 다 영향을 받을 경우, 비국소성이 만만한 빔과 플레이트의 임계 버킹 하중에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 분수계 수식은 고전적 비국소 탄성 이론에서 나타나는 정의되지 않은 문제와 열역학적 일관성 결여를 어떻게 해결하는가?

주요 결과

• 분수계 수식은 정정의 변형 에너지 밀도를 가능하게 하여 에너지 기반 안정성 분석이 가능하게 한다.
• 분수계 모델에서의 비국소 효과는 재료 강성 [K^b]와 기하학적 강성 [G^b] 둘 다를 감소시키며, 고전적 모델이 한쪽만 영향을 주는 것과 다르다.
• 파arametric 연구 결과, 비국소성 증가 시 둘 다 강성 항이 감소하여 임계 버킹 하중에 상반된 영향을 미친다.
• 분수계 모델은 고전적 국소 탄성 모델보다 낮은 임계 하중을 예측하며, 비국소 거동의 실험 관측 결과와 일치한다.
• Eringen의 적분 모델과 비교해 볼 때, 분수계 모델은 정의되지 않은 문제를 피하고 순수 비국소성의 극한에서도 잘 정의되고 자기수반인 연산자를 보장한다.
• 비국소 탄성의 미분 모델은 오직 기하학적 강성 [G^b]만 수정하는 반면, 분수계 모델은 [K^b]와 [G^b] 둘 다를 수정하여 비국소 효과를 더 포괄적으로 표현한다.