[논문 리뷰] Fractional Schrodinger-Poisson Equations With General Nonlinearities

Ronaldo C. Duarte, Marco A. S. Souto|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 20.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 비선형성을 갖는 $\mathbb{R}^3$에서의 분수 슈뢰딩거-포아송 체계에 대해, 네하리 만델 방법과 새로운 약한 비교 원리의 활용을 통해 양의 해와 기저 상태 해의 존재성을 확립한다. 주요 결과는 잠재력 $V$와 비선형성 $f$에 대해 적절한 조건, 특히 일반화된 암브로세티-라빈코비츠 조건을 만족할 경우, 약한 해가 거의 everywhere에서 양수임을 증명한다. 또한 기저 상태 에너지 수준을 도달한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the existence of positive solutions and ground state solution for a class of fractional Schrödinger-Poisson equations in $\mathbb R^3$ with general nonlinearities.

연구 동기 및 목표

• 분수 슈뢰딩거-포아송 체계에 대해 일반적인 비선형성을 갖는 $\mathbb{R}^3$에서의 양의 해의 존재성을 확립한다.
• 네하리 만델 방법을 사용하여 기저 상태 해의 존재성을 증명한다.
• 정규성 이론에 의존하지 않고 약한 해가 거의 everywhere에서 양수임을 보여준다.
• 이전의 국소 라플라스 연산자 경우의 결과를 비국소 분수 라플라스 연산자 설정으로 확장한다.
• 로그함수 보조정리의 새로운 변형과 체계에 적합한 약한 비교 원리를 개발한다.

제안 방법

• 체계와 관련된 에너지 함수의 임계점을 찾기 위해 네하리 만델 방법을 활용한다.
• 다시 정비된 로그함수 보조정리에서 유도된 새로운 약한 비교 원리를 적용하여 약한 해의 양수성을 증명한다.
• 슈뢰딩거 방정식과 포아송 방정식 각각에 대해 $s \in (\frac{3}{4}, 1)$ 및 $t \in (0,1)$ 인 분수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^s$ 와 $(-\Delta)^t$ 를 사용한다.
• Lax-Milgram 정리를 사용하여 $(-\Delta)^t \phi = u^2$ 를 만족하는 유일한 $\phi_u \in \dot{H}^t(\mathbb{R}^3)$ 가 존재함을 보장한다.
• 유계 수열 $H^s(\mathbb{R}^3)$ 에서의 분할과 기울기 현상 처리를 위해 리옹스의 보조정리(Lemma 1.3)를 적용한다.
• 기능 $H(u) = u f(u) - 4F(u)$ 가 음이 아니고 비감소임을 보장하기 위해 조건 $(f_5)$, 즉 $f(u)/|u|^3$ 이 증가함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 비선형성을 갖는 분수 슈뢰딩거-포아송 체계는 양의 약한 해를 갖는가?
• RQ2 비국소 분수 설정에서 네하리 만델 방법을 통해 기저 상태 해를 보장할 수 있는가?
• RQ3 정규성 이론을 사용하지 않고 약한 해의 양수성을 증명할 수 있는가?
• RQ4 비율 $s \in (\frac{3}{4}, 1)$ 의 선택이 임계 지수 $2_s^* = \frac{6}{3-2s}$ 를 고려할 때 해의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일반화된 암브로세티-라빈코비츠 유형 조건 $(f_5)$ 는 기저 상태 해의 존재를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 조건 $s \in (\frac{3}{4}, 1)$, $t \in (0,1)$, 그리고 $(V_0)$와 $(V_1)$ 를 만족하는 잠재력 $V$ 를 갖는 체계는 양의 해를 갖는다.
• 동일한 조건 $s$, $t$, $V$, $f$ 하에서 기저 상태 해가 존재하며, 이는 네하리 만델에서의 최소화자로 달성된다.
• 기존의 정규성 결과를 활용하지 않고 새로운 약한 비교 원리를 통해 $\mathbb{R}^3$ 에서 약한 해가 거의 everywhere에서 양수임을 보였다.
• $(4, 2_s^*)$ 간격은 $s > \frac{3}{4}$ 일 때에만 비퇴화되며, 이는 성장 조건 $(f_3)$ 에 있어 필수적이다.
• 조건 $(f_5)$ 는 $H(u) = u f(u) - 4F(u)$ 가 음이 아니고 비감소임을 보장하여 네하리 만델 분석에 있어 핵심적이다.
• 증명에서의 모순 추론은 $\lim_{n \to \infty} s_n = 1$ 이라는 결과를 도출하여 스케일링 수열이 기저 상태로 수렴함을 확인한다.