[논문 리뷰] Fractionalizing Majorana fermions: non-abelian statistics on the edges of abelian quantum Hall states

Netanel H. Lindner, Erez Berg외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 25.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 61인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초전도체와 페로마그네틱체에 대한 반대 방향으로 흐르는 표면 모드를 인접시켜 비아벨 통계를 실현하는 새로운 메커니즘을 제안한다. 초전도체-와 페로마그네틱체-연결 영역 간의 각 인터페이스는 양자 차원이 $\sqrt{2m}$인 비아벨 anyon을 포함하며, 이는 마조라나 기반 시스템보다 더 풍부한 브레인 군 표현을 가능하게 하지만, 보편적인 양자 계산은 달성되지 않는다.

ABSTRACT

We study the non-abelian statistics characterizing systems where counter-propagating gapless modes on the edges of fractional quantum Hall states are gapped by proximity-coupling to superconductors and ferromagnets. The most transparent example is that of a fractional quantum spin Hall state, in which electrons of one spin direction occupy a fractional quantum Hall state of $ν= 1/m$, while electrons of the opposite spin occupy a similar state with $ν= -1/m$. However, we also propose other examples of such systems, which are easier to realize experimentally. We find that each interface between a region on the edge coupled to a superconductor and a region coupled to a ferromagnet corresponds to a non-abelian anyon of quantum dimension $\sqrt{2m}$. We calculate the unitary transformations that are associated with braiding of these anyons, and show that they are able to realize a richer set of non-abelian representations of the braid group than the set realized by non-abelian anyons based on Majorana fermions. We carry out this calculation both explicitly and by applying general considerations. Finally, we show that topological manipulations with these anyons cannot realize universal quantum computation.

연구 동기 및 목표

• 기존 초전도체 인접 결합에 기반한 마조라나 페르미온 철학을 분수 양자홀 표면 상태에서 분수화된 비아벨 통계를 도입함으로써 그 범위를 확장하고자 한다.
• 분수 양자홀 표면에서 초전도체-와 페로마그네틱체-연결 영역 간의 인터페이스가 양자 차원이 $\sqrt{2m}$인 비아벨 anyon을 포함하고 있음을 보여주고자 한다.
• 이 anyon들과 관련된 유니터리 브레인 변환을 계산하고, 기존 마조라나 기반 시스템보다 더 풍부한 비아벨 표현을 실현함을 보여주고자 한다.
• 이 anyon들의 위상적 양자계산 잠재력을 조사하고, 특히 보편적인 양자 계산을 달성할 수 있는지 여부를 검토하고자 한다.

제안 방법

• 스핀 업과 스피너 다운 전자가 각각 $\nu = 1/m$ 및 $\nu = -1/m$ 상태를 占거하는 분수 양자 스핀홀 상태를 분석하며, 이는 반대 방향으로 흐르는 표면 모드를 형성한다.
• 표면 모드의 에너지 갭 형성에 대해 초전도체(전하 보존을 깨는)와 페로마그네틱체(시간 역행 대칭을 깨는)에 의한 인접 결합을 모델링하며, 이로 인해 인터페이스에서 국소화된 분수 마조라나 모드가 발생한다.
• 콤팩트화된 보송스 이론를 사용한 $U(1)$ 대칭 장 이론 접근법을 사용하여 표면 모드를 기술하며, anyon 통계는 $\theta$-항과 윌슨 라인을 통해 포함된다.
• 브레인 연산자의 푸리에 표현과 전하 보존 프로젝션을 사용하여, anyonic 전하를 교환하는 유니터리 연산 $U_{ij}$를 통해 브레인 변환을 유도한다.
• 일반적인 위상적 추론과 명시적 계산을 통해 anyon의 위상 스핀이 초기 전하 상태에 독립적임을 확인한다.
• 스핀이 0인 페로마그네틱 세그먼트에 프로젝션을 수행하여 일致성 검증을 실시하며, 브레인 동안 획득하는 위상이 위상적으로 불변임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초전도체와 페로마그네틱체에 동시에 인접한 상태에서 분수 양자홀 표면에서 비아벨 통계가 나타날 수 있는가?
• RQ2 SC-와 FM-연결 영역 간의 인터페이스에서 형성된 anyon의 양자 차원과 anyon 통계는 무엇인가?
• RQ3 이 anyon들의 브레인 군 표현은 기존 마조라나 페르미온의 표현과 비교해 볼 때 어떤가?
• RQ4 이 anyon들을 이용한 위상적 조작이 보편적인 양자 계산을 달성할 수 있는가?
• RQ5 anyon의 위상 스핀은 초기 전하 구성에 독립적인가? 이는 내성적 안정성을 보장하는가?

주요 결과

• 분수 양자홀 상태 표면에서 초전도체-와 페로마그네틱체-연결 영역 간의 각 인터페이스는 양자 차원이 $\sqrt{2m}$인 비아벨 anyon을 포함한다.
• 이 anyon들이 실현하는 브레인 군 표현은 마조라나 페르미온보다 더 풍부하며, 마조라나의 $\sqrt{2}$ 차원 힐베르트 공간을 넘어서는 비아벨 통계를 지원한다.
• 전하 $q_1$과 $q_2$를 가진 두 anyon을 브레인할 때 유도되는 위상 인자가 $e^{i\frac{\pi}{m}q_1 q_2}$임을 확인하였으며, 이는 위상 스핀 $\theta_q = e^{i\frac{\pi}{m}q^2}$와 일치한다.
• 위상 스핀이 초기 전하 상태에 독립적이며, 전하 이동에 대해 위상 인자 $\theta_X$가 불변임을 확인한 일치성 검증을 통해 이를 확인하였다.
• 브레인 연산자의 푸리에 표현과 전하 보존 프로젝션을 사용한 명시적 계산을 통해 유니터리 교환 과정과 그로 인한 위상 인자가 검증되었다.
• 비록 더 풍부한 통계를 제공하지만, 이 시스템은 보편적인 위상적 양자 계산을 실현할 수 없으며, anyon들이 보편 게이트 세트를 지원하지 않기 때문이다.