[논문 리뷰] Framed sheaves on root stacks and supersymmetric gauge theories on ALE spaces

Ugo Bruzzo, Mattia Pedrini외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 19.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 62인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $A_{k-1}$ ALE 공간에서 ${\mathcal{N}}=2$ 초대칭 게이지 이론을 연구하기 위해 루트 토릭 스택 위의 프레임드 샤프 이론적 프레임워크를 제시한다. 최소 해소 $X_k$의 스택 이론적 컴actsification을 ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe 컴actsification으로 구성함으로써, 저자들은 프레임드 샤프의 매끄러운 모듈리 공간을 정의하고, 차원과 고정점을 계산하며, 토릭 블로업 공식을 통해 인stanton 분할 함수를 유도한다. 주요 결과는 Seiberg-Witten 기하학과 리만-세타 함수를 이용한 분할 함수의 새로운 특성화이며, 상관 함수에 대한 명시적 표현과 분수 인스탄톤 전하에 대한 제약 조건을 포함한다.

ABSTRACT

We develop a new approach to the study of supersymmetric gauge theories on ALE spaces using the theory of framed sheaves on root toric stacks, which illuminates relations with gauge theories on $\mathbb{R}^4$ and with two-dimensional conformal field theory. We construct a stacky compactification of the minimal resolution $X_k$ of the $A_{k-1}$ toric singularity $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$, which is a projective toric orbifold $\mathscr{X}_k$ such that $\mathscr{X}_k\setminus X_k$ is a $\mathbb{Z}_k$-gerbe. We construct moduli spaces of torsion free sheaves on $\mathscr{X}_k$ which are framed along the compactification gerbe. We prove that this moduli space is a smooth quasi-projective variety, compute its dimension, and classify its fixed points under the natural induced toric action. We use this construction to compute the partition functions and correlators of chiral BPS operators for $\mathcal{N}=2$ quiver gauge theories on $X_k$ with nontrivial holonomies at infinity. The partition functions are computed with and without couplings to bifundamental matter hypermultiplets and expressed in terms of toric blowup formulas, which relate them to the corresponding Nekrasov partition functions on the affine toric subsets of $X_k$. We compare our new partition functions with previous computations, explore their connections to the representation theory of affine Lie algebras, and find new constraints on fractional instanton charges in the coupling to fundamental matter. We show that the partition functions in the low energy limit are characterised by the Seiberg-Witten curves, and in some cases also by suitable blowup equations involving Riemann theta-functions on the Seiberg-Witten curve with characteristics related to the nontrivial holonomies.

연구 동기 및 목표

• ALE 공간에서 초대칭 게이지 이론을 연구하기 위한 새로운 기하적 프레임워크를 개발하기 위해 대수적 스택과 샤프 모듈리 공간을 사용한다.
• ${\mathbb{C}}^2/{\mathbb{Z}}_k$의 최소 해소 $X_k$의 스택 이론적 컴actsification을 무한원에서 ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe를 갖는 토릭 오비폴드로 구성한다.
• $\mathscr{X}_k$ 위의 토션 자유 프레임드 샤프의 모듈리 공간을 정의하고 연구하며, 매끄러움, 차원, 고정점을 증명한다.
• $X_k$에서 무한원에서 비자명한 호로니가 있는 쿼버 게이지 이론에 대해 인스탄톤 분할 함수와 BPS 상관 함수를 계산한다.
• 이 분할 함수들이 Seiberg-Witten 기하학, 블로업 방정식, 그리고 아핀 리 대수의 표현 이론과 어떻게 연결되는지 규명한다.

제안 방법

• ALE 공간 $X_k$의 스택 이론적 컴actsification으로서 루트 토릭 스택 $\mathscr{X}_k$를 구성하며, $\mathscr{X}_k \setminus X_k$ 가 ${\mathbb{Z}}_k$-gerbe임을 보장한다.
• 컴actsification 경계에 따라 프레임드 샤프의 모듈리 공간을 정의하고, 이들이 매끄럽고 준사영 다양체임을 증명한다.
• $\mathscr{X}_k$ 위의 토러스 작용을 이용해 모듈리 공간의 고정점을 분류하고, 국소화를 통해 오일러 클래스를 계산한다.
• 분할 함수를 토릭 블로업 공식을 통해 표현하여, $X_k$의 아핀 토릭 부분집합에서의 네크라소프 분할 함수와 연관시킨다.
• 등급화 적분을 사용해 ${\mathcal{N}}=2$, ${\mathcal{N}}=2^*$, ${\mathcal{N}}=4$ 이론과 기본 물질이 있는 경우의 양자역학적 및 인스탄톤 분할 함수를 유도한다.
• 저에너지 분할 함수가 Seiberg-Witten 곡선과 관련된 블로업 방정식을 만족하며, 무한원에서 비자명한 호로니와 연결된 특성치를 가진 리만-세타 함수를 포함함을 보여, Seiberg-Witten 이론과의 연결 고리를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루트 스택 위의 프레임드 샤프는 ALE 공간에서의 초대칭 게이지 이론을 어떻게 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 $A_{k-1}$ ALE 공간의 스택 이론적 컴actsification인 $\mathscr{X}_k$ 위의 프레임드 샤프 모듈리 공간의 구조는 어떠한가?
• RQ3 $X_k$에서 무한원에서 비자명한 호로니가 있는 게이지 이론의 분할 함수는 아핀 패치에서의 네크라소프 분할 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 분할 함수는 Seiberg-Witten 기하학과 아핀 리 대수 표현에 어떤 정보를 담고 있는가?
• RQ5 기본 물질이 존재할 경우 분할 함수는 분수 인스탄톤 전하에 어떤 제약 조건을 부과하는가?

주요 결과

• 루트 토릭 스택 $\mathscr{X}_k$ 위의 프레임드 샤프 모듈리 공간은 차원이 $2k$인 매끄러운 준사영 다양체이다.
• 토릭 작용 하에서의 고정점은 분류되며, 무한원에서 특정한 단일성 데이터를 갖는 프레임드 샤프와 대응된다.
• ${\mathcal{N}}=2$ 및 ${\mathcal{N}}=2^*$ 이론에 대해, 분할 함수는 토릭 블로업 공식을 통해 계산되며, 프레임드 샤프 기여의 합으로 표현되며, 주요 항은 $\mathsf{q}^{1/3} + \cdots$ 로 나타난다.
• $X_3$에서 $U(2)$ 게이지 이론의 경우, 분할 함수의 $\mathsf{q}^{2/3}$ 계수는 $\mathsf{q}^{2/3} \left( -\frac{1}{2a(2a+\varepsilon_1+\varepsilon_2)} - \frac{1}{(2a-3\varepsilon_2)(2a-\varepsilon_1-\varepsilon_2)} - \frac{1}{(2a-\varepsilon_1-\varepsilon_2)(2a+\varepsilon_1+\varepsilon_2)} \right) + \cdots$ 로 계산된다.
• 저에너지 분할 함수는 Seiberg-Witten 곡선으로 특성화되며, 무한원에서 비자명한 호로니와 관련된 특성치를 가진 리만-세타 함수를 포함하는 블로업 방정식을 만족한다.