[논문 리뷰] Free quasi-symmetric functions and descent algebras for wreath products, and noncommutative multi-symmetric functions

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 23.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 색깔이 칠진 순열과 와이어드 곱 $Γ \wr \mathfrak{S}_n$를 사용하여 자유 준대칭 함수와 비가환 대칭 함수의 수준-$\ell$ 버전을 소개한다. 이는 와이어드 곱에 대한 일반화된 내림차수 대수를 구축하고, 내부 곱을 수립하며, 색깔이 칠진 주차 함수와 비교결 분할로 확장한다. 주요 기여는 맥마혼의 다중대칭 함수에 대한 비가환 버전을 제공하며, 파이에리에의 준대칭 함수와 쌍대 구조를 이루고, 수준-$\ell$ 구성의 가환 이미지를 통해 일반적인 다중대칭 함수에 대한 비가환 내부 곱을 유도한다.

ABSTRACT

We introduce analogs of the Hopf algebra of Free quasi-symmetric functions with bases labelled by colored permutations. When the color set is a semigroup, an internal product can be introduced. This leads to the construction of generalized descent algebras associated with wreath products $Γ\wr\SG_n$ and to the corresponding generalizations of quasi-symmetric functions. The associated Hopf algebras appear as natural analogs of McMahon's multisymmetric functions. As a consequence, we obtain an internal product on ordinary multi-symmetric functions. We extend these constructions to Hopf algebras of colored parking functions, colored non-crossing partitions and parking functions of type B.

연구 동기 및 목표

• 색깔이 칠진 순열과 와이어드 곱 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$를 사용하여 맥마혼의 다중대칭 함수에 대한 비가환 버전을 개발하기 위해.
• 수준-$\ell$ 자유 준대칭 함수를 통해 와이어드 곱에 대한 일반화된 내림차수 대수를 구축하고, 그 내부 곱의 구조를 수립하기 위해.
• 이론을 색깔이 칠진 주차 함수, $B$형 비교결 분할, 그리고 평면 이진 트리로 확장하여 새로운 대수적 및 조합적 구조를 드러내기 위해.
• 수준-$\ell$ 구성의 가환 이미지를 통해 일반적인 다중대칭 함수에 대한 비가환 내부 곱을 도출하기 위해.

제안 방법

• 색깔이 칠진 순열을 색인으로 가지는 호프 대수 ${\bf FQSym}^{(\ell)}$를 도입하여 표준 ${\bf FQSym}$을 일반화한다.
• ${\bf FQSym}^{(\ell)}$의 호프 부분대수로 ${\bf Sym}^{(\ell)}$를 구성하고, 파이에리에의 준대칭 함수와 쌍대 관계를 수립한다.
• 색깔이 칠진 이동 연산과 덴드라이포드 구조를 사용하여 ${\bf Sym}^{(\ell)}$에 내부 곱을 정의하고, 솔로몬의 내림차수 대수를 일반화한다.
• 카우치 공식을 적용하여 만타시-루텐아우어 대수 ${\rm MR}^{(\ell)}$의 쌍대를 계산하고, 그 내부 곱을 도출한다.
• 색깔이 칠진 주차 함수의 호프 대수 ${\bf PQSym}^{(\ell)}$를 도입하고, 이에 대한 비이중/삼중 구조를 수립한다.
• 비가환 라그랑주 역전개와 색깔이 칠진 트리 수를 활용하여 라네이의 함수방정식을 조합론적으로 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 대수 ${\bf FQSym}^{(\ell)}$는 어떻게 색깔이 칠진 순열을 사용하여 와이어드 곱 대칭성을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 비가환 대칭 함수의 수준-$\ell$ 일반화에서 어떤 내부 곱의 구조가 나타나며, 이는 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$의 내림차수 대수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 다중대칭 함수의 구성은 비가환 환경에서 내부 곱을 갖도록 어떻게 승격시킬 수 있는가?
• RQ4 색깔이 칠진 주차 함수와 $B$형 비교결 분할은 수준-$\ell$ 호프 대수의 프레임워크에 어떻게 통합될 수 있는가?
• RQ5 색깔이 칠진 트리와 비가환 라그랑주 역전개의 맥락에서, 라네이의 함수방정식의 조합론적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 색깔이 칠진 순열을 색인으로 가지는 호프 대수 ${\bf FQSym}^{(\ell)}$가 구성되었으며, 색상 집합이 반군일 경우 내부 곱을 갖는다.
• ${\bf Sym}^{(\ell)}$ 부분대수는 $\ell$개의 ${\bf Sym}$ 복합체의 자유곱과 동형이며, 파이에리에의 준대칭 함수와 쌍대 관계를 이룬다.
• ${\bf Sym}^{(\ell)}$의 동차 성분들은 내부 곱을 지니며, 와이어드 곱 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$의 솔로몬의 내림차수 대수를 일반화한다.
• ${\bf Sym}^{(\ell)}$의 가환 이미지로부터 일반적인 다중대칭 함수에 대한 내부 곱이 도출되며, 맥마혼의 구성에 확장된다.
• 만타시-루텐아우어 대수 ${\rm MR}^{(\ell)}$는 ${\bf Sym}^{(\ell)}$의 호프 부분대수로서 나타나며, 카우치 공식을 통해 그 쌍대가 계산된다.
• 색깔이 칠진 주차 함수의 호프 대수 ${\bf PQSym}^{(\ell)}$는 비이중/삼중 구조를 지니며, 비가환 라그랑주 역전개 공식을 지원한다.